Seja pi o plano que passa pelos pontos A=(5,-4,1), B=(1,1,0) e C=(0,4,-2).
Obtenha a equação cartesiana do plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano pi que passa pelos três pontos A=(5,-4,1), B=(1,1,0) e C=(0,4,-2). Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar usar vetores e o cálculo do produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano pi. Para isso, vamos subtrair as coordenadas dos pontos dados:
AB = B - A = (1-5, 1-(-4), 0-1) = (-4, 5, -1)
AC = C - A = (0-5, 4-(-4), -2-1) = (-5, 8, -3)

Passo 3

Agora, para achar o vetor normal ao plano, precisamos calcular o produto vetorial desses dois vetores AB e AC. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais:
n = AB times AC = i & j & k -4 & 5 & -1 -5 & 8 & -3
Calculando o determinante:
n = i(5 cdot (-3) - (-1) cdot 8) - j((-4) cdot (-3) - (-1) cdot (-5)) + k((-4) cdot 8 - 5 cdot (-5))
n = i(-15 + 8) - j(12 - 5) + k(-32 + 25)
n = i(-7) - j(7) + k(-7) = (-7, -7, -7)
Podemos simplificar dividindo por -7:
n = (1, 1, 1)

Passo 4

Com o vetor normal n = (1, 1, 1) e sabendo que o plano passa pelo ponto A=(5,-4,1), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
1(x - 5) + 1(y + 4) + 1(z - 1) = 0

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
x - 5 + y + 4 + z - 1 = 0
x + y + z - 2 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano pi é:
x + y + z = 2

Exercícios relacionados