Os conjuntos abaixo são L I ou L D em seus respectivos espaços?
(0,0,0),(1,2,3),(4,1,-2) em R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de vetores
(0,0,0),(1,2,3),(4,1,-2)
no espaço R^3 e pede para determinarmos se esse conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Vamos usar a definição de independência linear, que diz que um conjunto é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos); caso contrário, é LD.

Passo 2

Note que o conjunto contém o vetor nulo (0,0,0). Pela propriedade dos espaços vetoriais, qualquer conjunto que contenha o vetor zero é automaticamente linearmente dependente, pois basta escolher uma combinação não trivial para obter o zero:
1cdot(0,0,0) + 0cdot(1,2,3) + 0cdot(4,1,-2) = (0,0,0)
Aqui o coeficiente do primeiro vetor é ,1neq0, logo temos uma combinação não trivial que gera o vetor zero.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (LD).

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