Sejam p, q in P2(R) tais que p(t)=1+t+4 t^2 e q(t)=1+5 t+t^2 forall t in R. Mostre que p, q in span1+2 t-t^2, 3+5 t+2 t^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os polinômios
p(t)=1+t+4t^2 e q(t)=1+5t+t^2
pertencem ao subespaço de P2(R) gerado pelos vetores
v1(t)=1+2t-t^2, v2(t)=3+5t+2t^2
Em outras palavras, precisamos mostrar que existem escalares alpha,beta tais que
alpha,v1(t)+beta,v2(t)=p(t) e gamma,v1(t)+de<a,v2(t)=q(t)
Isso se faz igualando coeficientes em cada potência de t e resolvendo sistemas lineares.

Passo 2

Procuramos
Expandindo em potências de :
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
Das duas primeiras equações temos . Logo
ou seja, .

Passo 3

Agora tentamos
Expandindo, igualamos coeficientes:
Das duas primeiras equações obteríamos que representem como combinação linear de .

Resposta

p(t) pertence a span1+2t-t^2,,3+5t+2t^2 pois
p(t)=-2,(1+2t-t^2)+1,(3+5t+2t^2)
q(t) não pertence a esse span, já que o sistema para seus coeficientes é inconsistente.

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