Os conjuntos abaixo são ou em seus respectivos espaços? em .
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de polinômios em , que é o espaço de dimensão dos polinômios de grau . Como temos vetores num espaço de dimensão , já sabemos pelo teorema de dimensão que o conjunto é necessariamente linearmente dependente.
Passo 2
Para ilustrar a dependência, consideramos a combinação linear
e agrupamos por potências de :
Dessa igualdade polinomial segue o sistema
Passo 3
Resolvendo o sistema, da segunda equação vem b=-2c, da terceira d=-c e da primeira a=-3c. Tomando c=1 obtemos
(a,b,c,d)=(-3,,-2,,1,,-1),
que não é a solução trivial e satisfaz a combinação. Portanto há dependência linear.