Os conjuntos abaixo são L I ou L D em seus respectivos espaços?
1, t-1,2 t+t^2+1, t^2 em P2(R).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de polinômios
,1,;t-1,;2t+t^2+1,;t^2 em P2( R), que é o espaço de dimensão 3 dos polinômios de grau <=2. Como temos 4 vetores num espaço de dimensão 3, já sabemos pelo teorema de dimensão que o conjunto é necessariamente linearmente dependente.

Passo 2

Para ilustrar a dependência, consideramos a combinação linear
acdot1 + b,(t-1) + c,(2t + t^2 + 1) + d,t^2 = 0
e agrupamos por potências de t:
(a - b + c) + (b + 2c),t + (c + d),t^2 = 0
Dessa igualdade polinomial segue o sistema
a - b + c = 0 b + 2c = 0 c + d = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem b=-2c, da terceira d=-c e da primeira a=-3c. Tomando c=1 obtemos
(a,b,c,d)=(-3,,-2,,1,,-1),
que não é a solução trivial e satisfaz a combinação. Portanto há dependência linear.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (LD).

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