Seja V um espaço vetorial e sejam U, X e W seus subespaços vetoriais, para os quais valem:
U cap(X+W)=X cap W=0
Mostre que se u+x+w=0 (vetor nulo), com u in U, x in X e w in W, então u=x=w=0.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial e que U,X,W são subespaços tais que
;Ucap (X+W)=0 e ;Xcap W=0.
Queremos mostrar que, se
u+x+w=0
com uin U, xin X e win W, então necessariamente u=0, x=0 e w=0.

Passo 2

Da igualdade u+x+w=0 isolamos
u = -(x+w)
Como xin X e win W, temos x+win X+W. Logo
uin Ucap (X+W)
Mas por hipótese Ucap (X+W)=0, então obrigatoriamente
u=0

Passo 3

Substituindo u=0 na soma original, fica
x+w=0
Isto implica x = -w. Como xin X e win W, concluímos que
xin Xcap W
E como Xcap W=0, temos x=0. Finalmente w=-x=0.

Resposta

u=0,;x=0,;w=0.

Exercícios relacionados