Os conjuntos abaixo são L I ou L D em seus respectivos espaços?
1+t, 3 t+t^2, 2+t-t^2 em P2(R).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
1+t,;3t+t^2,;2+t-t^2
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) em P2(R).
Como P2(R) tem dimensão 3, três polinômios formam base se, e só se, forem LI.

Passo 2

Para testar independência, consideramos a combinação linear nula:
a(1+t) + b(3t + t^2) + c(2 + t - t^2) equiv 0,
onde 0 é o polinômio zero.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos semelhantes, obtemos
Como esse polinômio é identicamente zero, cada coeficiente deve valer zero, gerando o sistema
Da terceira equação vem
Subtraindo as duas linhas, surge . Logo e . Só existe a solução trivial.

Passo 4

Como a única solução da combinação linear nula é a=b=c=0, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI).

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