Os conjuntos abaixo são L I ou L D em seus respectivos espaços?
cos x, sin x no espaço das funçōes de R em R.

Passo 1

O enunciado pede que a gente diga se o conjunto de funções cos x,sin x é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD) no espaço vetorial das funções RtoR. Para isso vamos usar a definição de independência linear: um conjunto f1,f2 é LI se, da equação
alpha,f1(x)+beta,f2(x)=0,forall xinR,
seguirem-se necessariamente alpha=0 e beta=0.

Passo 2

Considere a combinação linear
alphacos x+betasin x=0,forall xinR
Isso significa que a função h(x)=alphacos x+betasin x é identicamente nula.

Passo 3

Para achar alpha e beta avaliamos em valores convenientes de x:
  • Em x=0: alphacos0+betasin0=alphacdot1+betacdot0=alpha=0
  • Em x=tfracpi2: alphacostfracpi2+betasintfracpi2 =alphacdot0+betacdot1=beta=0
Como só restam as soluções triviais alpha=0 e beta=0, concluímos que não há combinação não trivial que anule ambas as funções.

Resposta

O conjunto cos x,sin x é linearmente independente (LI) no espaço das funções RtoR.

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