Os conjuntos abaixo são L I ou L D em seus respectivos espaços?
-1+t+t^4, 1-t+t^3,-1+t^2 em P4(R).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de polinômios
-1+t+t^4,,1-t+t^3,,-1+t^2 em P4(R) e pergunta se ele é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso, vamos usar a definição: o conjunto é LI se a única combinação linear que dá o polinômio zero é a trivial.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,cinR tais que
al(-1 + t + t^4r) ;+; bl(1 - t + t^3r) ;+; cl(-1 + t^2r) ;=;0
como polinômio nulo em P4(R).

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de t, obtemos
(-a + b - c) ;+;(a - b),t ;+;c,t^2 ;+;b,t^3 ;+;a,t^4 ;=;0
Para que esse polinômio seja identicamente zero, cada coeficiente deve se anular, gerando o sistema
-a + b - c = 0, a - b = 0, c = 0, b = 0, a = 0

Passo 4

Da última equação vem a=0. Substituindo em a-b=0 b=0. Em seguida c=0. Logo a única solução é a=b=c=0, ou seja, só existe a combinação trivial.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI).

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