Os conjuntos abaixo são
ou
em seus respectivos espaços?
no espaço das funções de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço vetorial das funções de
em
. Vamos usar a definição: é LD se existir combinação linear não trivial que dê a função zero; caso contrário é LI.
Passo 2
Considere a combinação linear geral nula:
Isso significa
identicamente. Precisamos mostrar que
.
Passo 3
Para todo
essa equação vale. Escolhemos valores convenientes de
:
-
Em
: , , dá -
Em
: , , dá -
Em
: , , dá
Agora resolvemos o sistema:
- De
vem . - Substituindo em
dá , logo . - Substituindo em
temos . Como , segue . - Então
e .
Só há a solução trivial
, logo as funções são LI.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.