Os conjuntos abaixo são L I ou L D em seus respectivos espaços?
1, cos 2 x, sin x no espaço das funções de R em R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções 1,cos2x,sin x é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço vetorial das funções de R em R. Vamos usar a definição: é LD se existir combinação linear não trivial que dê a função zero; caso contrário é LI.

Passo 2

Considere a combinação linear geral nula:
acdot1 + bcos2x + csin x = 0,forall xinR
Isso significa
a + bcos2x + csin x = 0
identicamente. Precisamos mostrar que a=b=c=0.

Passo 3

Para todo x essa equação vale. Escolhemos valores convenientes de x:
  1. Em x=0: sin0=0, cos0=1, dá
    a + b = 0
  2. Em x=tfracpi2: sin(tfracpi2)=1, cos(pi)=-1, dá
    a - b + c = 0
  3. Em x=tfracpi4: sin(tfracpi4)=tfracraiz22, cos(tfracpi2)=0, dá
    a + c,raiz22 = 0
Agora resolvemos o sistema:
  • De a + b=0 vem b=-a.
  • Substituindo em a - b + c=0 a-(-a)+c=2a+c=0, logo c=-2a.
  • Substituindo em a + craiz22=0 temos a -2araiz22=a(1-raiz2)=0. Como 1-raiz2neq0, segue a=0.
  • Então b=-a=0 e c=-2a=0.
Só há a solução trivial a=b=c=0, logo as funções são LI.

Resposta

O conjunto 1,cos2x,sin x é linearmente independente.

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