Os conjuntos abaixo são L I ou L D em seus respectivos espaços?
(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-2) em R^3.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
(1,1,1),,(1,0,1),,(1,0,-2) em R^3 e pede para decidir se ele é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar a definição: o conjunto é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.

Passo 2

Sejam alpha,beta,gammainR tais que
alpha(1,1,1)+beta(1,0,1)+gamma(1,0,-2)=(0,0,0)
Isso gera o sistema
alpha+beta+gamma=0, alpha=0, alpha+beta-2gamma=0

Passo 3

Da segunda equação segue imediatamente
Substituindo
Da primeira vem
e então .

Passo 4

Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, a combinação linear trivial, concluímos que não há relação de dependência entre os vetores.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI).

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