Verifique se os vetores de R^3 v1=(1,-2,3), v2=(5,6,-1) e v3=(3,2,1) são linearmente dependentes ou independentes.

Passo 1

O enunciado pede para testar se os vetores em R^3
v1=(1,-2,3), v2=(5,6,-1) e v3=(3,2,1)
são linearmente independentes ou dependentes. Para isso podemos usar o critério do determinante da matriz cujas colunas são esses vetores: se detneq0 são independentes; se det=0 são dependentes.

Passo 2

Formamos a matriz M com as colunas iguais aos vetores dados:
M = 1 & 5 & 3 -2 & 6 & 2 3 & -1 & 1
Lembrando que det(M)neq0 implica independência linear e det(M)=0 implica dependência linear.

Passo 3

Calculamos o determinante expandindo pela primeira linha:
det(M) =1cdot(6cdot1 - 2cdot(-1)) -5cdot((-2)cdot1 - 2cdot3) +3cdot((-2)cdot(-1) - 6cdot3)
Desenvolvendo cada termo,
1cdot(6+2);-;5cdot(-2-6);+;3cdot(2-18) =8 ;-;5cdot(-8);+;3cdot(-16) =8 + 40 -48 =0

Passo 4

Como
o que gera o sistema
Da primeira equação vem . Tomando segue , isto é,
prova explícita de dependência linear.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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