Determine quais das seguintes funções são lineares:
l g: R^2 R (x, y) x y

Passo 1

O enunciado nos dá a função gcolon R^2 to R definida por
g(x,y) = x,y
O conteúdo é verificar se g é uma aplicação linear, isto é, se satisfaz additividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, uma função g é linear se, para todos (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e todo escalar alphainR, valem
g((x1,y1)+(x2,y2)) = g(x1,y1) + g(x2,y2) e gl(alpha,(x1,y1)r) = alpha,g(x1,y1)

Passo 3

Testando additividade, tomemos (x1,y1) e (x2,y2). Então
g((x1,y1)+(x2,y2)) = g(x1+x2,,y1+y2) = (x1+x2)(y1+y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2,
enquanto
g(x1,y1) + g(x2,y2) = x1y1 + x2y2
Como em geral
x1y2 + x2y1 neq 0,
vemos que
g((x1,y1)+(x2,y2)) neq g(x1,y1) + g(x2,y2),
logo a additividade falha.

Passo 4

Por curiosidade, testando homogeneidade com escalar alpha,
gl(alpha,(x,y)r) = g(alpha x,alpha y) = (alpha x)(alpha y) = alpha^2,x,y,
mas
alpha,g(x,y) = alpha,(x,y),
e alpha^2,x,y neq alpha,x,y em geral, mostrando que também falha a homogeneidade.

Resposta

A função g(x,y)=xy não é linear.

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