Determine qual das alternativas a seguir não representa um subespaço de .
a)
b)
c) O conjunto solução do sistema linear:
d) S=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2+4 z^2=16
e) R^3
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual das opções não é subespaço de R^3. O conteúdo aqui é caracterizar subespaços lineares e aplicar os critérios de subespaço para cada conjunto dado.
Passo 2
Uma parte VsubseteqR^3 é subespaço linear se, e somente se, satisfaz três condições:
contém o vetor zero;
é fechada sob soma de vetores;
é fechada sob multiplicação por escalares.
Passo 3
As alternativas a), b), c) e e) satisfazem esses critérios:
a) (0,0,0) é o subespaço trivial, contém o zero e é fechado em soma e escalar.
b) W=(2t,-t,5t):tinR é a reta gerada por (2,-1,5), passa pela origem e é fechada em soma e escalar.
c) O conjunto solução de um sistema homogêneo xinR^3: Ax=0
é sempre subespaço linear.
e) R^3 é subespaço de si mesmo.
Passo 4
A alternativa d) é
S=(x,y,z)inR^3:x^2+y^2+4z^2=16
Esse conjunto não contém o vetor zero, pois (0,0,0) não satisfaz 0^2+0^2+4cdot0^2=16. Logo falha em conter o vetor nulo e não é fechado em soma nem em multiplicação escalar, portanto não é subespaço.