Os conjuntos abaixo são subconjuntos de
. Verifique quais deles são subespaços vetoriais do
relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! A gente tem um conjunto
que está dentro do espaço
. A matéria aqui é sobre subespaços vetoriais, que são basicamente conjuntos que, além de serem parte de um espaço vetorial maior (como
), também respeitam certas regras de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial de
:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor no conjunto e multiplicar por um número (escalar), o resultado também precisa estar no conjunto.
Vamos checar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
.
Substituindo
:
Então, o vetor zero seria
, que não é o vetor zero
. Portanto,
não está em
.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Mesmo que já tenhamos visto que o vetor zero não está em
, vamos continuar para entender melhor.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
(x_2, y_2)
Somando-os:
Para que a soma esteja em
, a segunda coordenada deve ser igual à primeira mais 3:
Mas no nosso caso:
Como
, a soma não está em
.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
k \cdot (x, y) = (k x, k y) = (k x, k(x + 3)) = (k x, k x + 3k)
k x + 3k = k x + 3 $$
Isso só é verdade se
, ou seja,
. Para outros valores de
, a condição não é satisfeita.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.