Os conjuntos abaixo são subconjuntos de R^2. Verifique quais deles são subespaços vetoriais do R^2 relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
e) S=(x, y) / y=x+3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! A gente tem um conjunto S = (x, y) mid y = x + 3 que está dentro do espaço R^2 . A matéria aqui é sobre subespaços vetoriais, que são basicamente conjuntos que, além de serem parte de um espaço vetorial maior (como R^2 ), também respeitam certas regras de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar verificar se S satisfaz as condições para ser um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial de R^2 :
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0) precisa estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor no conjunto e multiplicar por um número (escalar), o resultado também precisa estar no conjunto.
Vamos checar cada uma dessas condições para S .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em S :
O vetor zero é (0, 0) . Vamos ver se ele satisfaz a condição y = x + 3 .
Substituindo x = 0 :
y = 0 + 3 = 3
Então, o vetor zero seria (0, 3) , que não é o vetor zero (0, 0) . Portanto, (0, 0) não está em S .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Mesmo que já tenhamos visto que o vetor zero não está em , vamos continuar para entender melhor.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
(x_2, y_2)
Somando-os:
Para que a soma esteja em , a segunda coordenada deve ser igual à primeira mais 3:
Mas no nosso caso:
Como , a soma não está em .

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em :
k \cdot (x, y) = (k x, k y) = (k x, k(x + 3)) = (k x, k x + 3k)
k x + 3k = k x + 3 $$
Isso só é verdade se , ou seja, . Para outros valores de , a condição não é satisfeita.

Resposta

O conjunto S = (x, y) mid y = x + 3 não é um subespaço vetorial de R^2 .

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