Sejam V=(x, y, z) /-x+2 y-7 z=0 e W=(x, y, z) / 2 x+y-z=0 subespaços vetoriais de R^3. Determine:
Uma base para V cap W e a dimensão deste subespaço.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3 definidos por equações lineares homogêneas:
V=(x,y,z)mid -x+2y-7z=0, W=(x,y,z)mid 2x+y-z=0
Queremos Vcap W, que é a interseção desses dois planos, e em seguida determinar uma base e a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Para encontrar Vcap W resolvemos simultaneamente
- x + 2 y - 7 z = 0
2 x + y - z = 0
Da primeira equação isolamos x:
x = 2y - 7z
Substituindo na segunda:
2(2y - 7z) + y - z = 0
4y - 14z + y - z = 0
5y - 15z = 0
y = 3z

Passo 3

Com y=3z e x=2y-7z=6z-7z=-z, a solução geral é
(x,y,z) = (-z,,3z,,z) = z,(-1,3,1)
Logo
Vcap W = ,z,(-1,3,1)mid zinR,
que é uma reta de dimensão 1.

Resposta

Base de Vcap W: (-1,3,1).
dim(Vcap W)=1.

Exercícios relacionados