Verifique que é uma base de . Justifique suas conclusões.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear e fornece três vetores
coletivamente chamados de .
O objetivo é mostrar que é uma base de .
Passo 2
Para ser base de , o conjunto precisa ter três vetores (o que ocorre) e ser linearmente independente. Como , basta verificar que nenhum deles é combinação linear dos outros, ou equivalentemente que o determinante da matriz cujas colunas são é não nulo.
Passo 3
Formamos a matriz
cujas colunas são v1,v2,v3.
Passo 4
Calculamos o determinante de M:
det M =1cdotdet!1&21&1 -(-1)cdotdet!-1&22&1 +(-1)cdotdet!-1&12&1
det M = 1cdot(-1) -(-1)cdot(-5) +(-1)cdot(-3) = -1 -5 +3 = -3 neq 0
Passo 5
Como det Mneq0, os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes. Tendo três vetores em R^3 e sendo eles independentes, concluímos que beta é uma base de R^3.
Resposta
O conjunto beta=(1,-1,2),,(-1,1,1),,(-1,2,1) é uma base de R^3, pois os três vetores são linearmente independentes (determinante da matriz formada por eles é -3neq0).