Seja T: R^3 R^2 a transformação linear tal que:
T(1,-1,2)=(7,5),, T(-1,1,1)=(-4,-8) e T(-1,2,1)=(-7,-10)
Verifique que beta=(1,-1,2),(-1,1,1),(-1,2,1) é uma base de R^3. Justifique suas conclusões.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T: R^3 to R^2 e fornece três vetores
v1 = (1,-1,2), v2 = (-1,1,1), v3 = (-1,2,1),
coletivamente chamados de beta = v1, v2, v3.
O objetivo é mostrar que beta é uma base de R^3.

Passo 2

Para ser base de R^3, o conjunto beta precisa ter três vetores (o que ocorre) e ser linearmente independente. Como dimR^3=3, basta verificar que nenhum deles é combinação linear dos outros, ou equivalentemente que o determinante da matriz cujas colunas são v1,v2,v3 é não nulo.

Passo 3

Formamos a matriz
M= 1 & -1 & -1 -1& 1 & 2 2& 1 & 1 ,
cujas colunas são v1,v2,v3.

Passo 4

Calculamos o determinante de M:
det M =1cdotdet!1&21&1 -(-1)cdotdet!-1&22&1 +(-1)cdotdet!-1&12&1
Cada menor fica
det!1&21&1 =1cdot1-2cdot1=-1, det!-1&22&1 =(-1)cdot1-2cdot2=-5, det!-1&12&1 =(-1)cdot1-1cdot2=-3
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det M = 1cdot(-1) -(-1)cdot(-5) +(-1)cdot(-3) = -1 -5 +3 = -3 neq 0

Passo 5

Como det Mneq0, os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes. Tendo três vetores em R^3 e sendo eles independentes, concluímos que beta é uma base de R^3.

Resposta

O conjunto beta=(1,-1,2),,(-1,1,1),,(-1,2,1) é uma base de R^3, pois os três vetores são linearmente independentes (determinante da matriz formada por eles é -3neq0).

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