Os conjuntos abaixo são subconjuntos de R^3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais do R^3 relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
b) S=(x, y, z) / y=x-1 e z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente precisa verificar se o conjunto S = (x, y, z) mid y = x - 1 e z = 0 é um subespaço vetorial de R^3 quando consideramos as operações normais de adição de vetores e multiplicação por escalar.
Para isso, vamos lembrar que um subconjunto é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição de vetores.
  3. É fechado para multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeira condição: Contém o vetor zero
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Vamos ver se ele pertence ao conjunto S .
  • Para (0, 0, 0) , temos que verificar se y = x - 1 e z = 0 .
  • Substituindo, y = 0 e x - 1 = 0 - 1 = -1 .
  • Mas 0 neq -1 , então o vetor zero não está em S .
Já que o vetor zero não está no conjunto, isso significa que S não é um subespaço vetorial de R^3 .

Resposta

O conjunto S = (x, y, z) mid y = x - 1 e z = 0 não é um subespaço vetorial de R^3 porque não contém o vetor zero.

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