Verifique que V é subespaço vetorial de M2 times 2.
Passo 1
O enunciado define
V = ,a & b c & din M2times2mid a=2c,;b=c,;d=2a-d
e pede para mostrar que V é subespaço vetorial de M2times2. Para isso precisamos verificar que (i) o vetor zero está em V, (ii) V é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Simplificamos a condição d=2a-d. Essa igualdade implica
2d = 2a Longrightarrow d = a
Logo as três condições viram
a = 2c, b=c, d=a
Passo 3
Escrevendo tudo em função de um único parâmetro, digamos c=t, temos
a = 2t, b = t, d = a = 2t
Portanto cada matriz de V é da forma
a & b c & d = 2t & t t & 2t = t2 & 1 1 & 2
Isso mostra que
V = l,t,Nmid tinRr,
onde N=2&11&2.
Passo 4
Como V=SpanN, ele contém o zero (obtido com t=0), e é fechado sob soma e multiplicação escalar por propriedades de qualquer subespaço gerado por um conjunto. Em particular, se t1N,t2Nin V então
t1N + t2N = (t1+t2)Nin V e lambda,(t1N) = (lambda t1)Nin V