Considere os seguintes subespaços vetoriais U e V de R^3 :
U=(x, y, z) in R^3 / x+y=0 e, V=(x, y, z) in R^3 / z=0. Determine:
a) U+V e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem dois subespaços vetoriais U e V em R^3 e precisa encontrar a soma desses subespaços, U + V , além de determinar a dimensão desse novo espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é a soma de subespaços e como calcular a dimensão deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa somar dois subespaços vetoriais. A soma U + V é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U com um vetor de V . Ou seja:
U + V = u + v | u in U, v in V

Passo 3

Agora, vamos descrever os subespaços U e V com mais detalhes:
  • U = (x, y, z) in R^3 | x + y = 0
    Isso significa que em U , a coordenada x é igual a -y. Podemos reescrever qualquer vetor de U como:
U = (-y, y, z) | y, z in R
  • V = (x, y, z) in R^3 | z = 0
    Aqui, a coordenada z é sempre zero. Então, qualquer vetor em V pode ser escrito como:
V = (x, y, 0) | x, y in R

Passo 4

Vamos agora somar um vetor qualquer de U com um vetor qualquer de V . Seja u = (-y1, y1, z1) em U e v = (x2, y2, 0) em V . A soma desses vetores fica assim:
u + v = (-y1 + x2, y1 + y2, z1 + 0) = (x2 - y1, y1 + y2, z1)

Passo 5

A gente precisa ver quais vetores podemos obter somando u e v . Observando a expressão acima, percebemos que:
  • x = x2 - y1
  • y = y1 + y2
  • z = z1
Como x2 , y1 , y2 e z1 são todos números reais livres, podemos escolher eles de forma que x , y e z assumam qualquer valor em R .

Passo 6

Isso significa que qualquer vetor (x, y, z) em R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor de U e um vetor de V . Portanto:
U + V = R^3

Resposta

U + V = R^3 e a dimensão de U + V é 3.

Exercícios relacionados