Considere os seguintes subespaços vetoriais U e V de
:
. Determine:
a)
e sua dimensão.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem dois subespaços vetoriais
e
em
e precisa encontrar a soma desses subespaços,
, além de determinar a dimensão desse novo espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é a soma de subespaços e como calcular a dimensão deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa somar dois subespaços vetoriais. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
com um vetor de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos descrever os subespaços
e
com mais detalhes:
-
Isso significa que em
, a coordenada é igual a . Podemos reescrever qualquer vetor de como:
-
Aqui, a coordenada
é sempre zero. Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Passo 4
Vamos agora somar um vetor qualquer de
com um vetor qualquer de
. Seja
em
e
em
. A soma desses vetores fica assim:
Passo 5
A gente precisa ver quais vetores podemos obter somando
e
. Observando a expressão acima, percebemos que:
Como
,
,
e
são todos números reais livres, podemos escolher eles de forma que
,
e
assumam qualquer valor em
.
Passo 6
Isso significa que qualquer vetor
em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Portanto: