Os conjuntos abaixo são subconjuntos de R^3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais do R^3 relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
S=(x, y, z) / x cdot y=0

Passo 1

O enunciado define
S=(x,y,z)inR^3mid xcdot y=0
e pede para verificar se S é subespaço vetorial de R^3 com as operações usuais. Para isso, vamos usar a definição de subespaço, que exige:
  1. o vetor zero em S,
  2. fechamento por soma,
  3. fechamento por multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em S. Como
(0)cdot(0)=0,
temos (0,0,0)in S.

Passo 3

Testamos o fechamento por multiplicação escalar. Seja (x,y,z)in S, então x,y=0. Para qualquer escalar alphainR,
(alpha x)cdot(alpha y)=alpha^2,(x,y)=alpha^2cdot 0=0,
logo alpha(x,y,z)in S.

Passo 4

Testamos o fechamento por soma, encontrando um contraexemplo. Considere
v=(1,0,0)in S, w=(0,1,0)in S
pois em ambos x,y=0. Porém
v+w=(1,1,0)
e (1)cdot(1)=1neq0,
logo v+wnotin S. Portanto S não é fechado sob adição.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^3.

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