Escreva o polinômio p=7+8 x+9 x^2 como combinação linear dos polinômios
p1=2+x+4 x^2 , p2=1-x+3 x^2 e p3=3+2 x+5 x^2

Passo 1

O enunciado pede expressar o polinômio
p(x)=7+8x+9x^2
como combinação linear dos polinômios
p1(x)=2+x+4x^2, p2(x)=1 - x +3x^2, p3(x)=3+2x+5x^2
Isso é equivalente a encontrar escalares a,b,c tais que
a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x)=p(x)

Passo 2

Substituindo as expressões de p1,p2,p3 na combinação linear, obtemos
a(2+x+4x^2)+b(1 - x +3x^2)+c(3+2x+5x^2)=7+8x+9x^2
Igualando coeficientes de x^0, x^1 e x^2, isso gera o sistema linear
2a + b + 3c =7, a - b + 2c =8, 4a +3b +5c =9

Passo 3

Da segunda equação isolamos
b = a + 2c - 8
Substituindo esse b na primeira e na terceira equações resulta em
3a +5c =15, 7a +11c =33
Eliminando a entre essas duas, achamos c=3 e, voltando em 3a+5c=15, vem a=0. Finalmente, em b=a+2c-8 obtemos b=-2.

Passo 4

Logo, os coeficientes são
a=0, b=-2, c=3,
e portanto
p(x)=0cdot p1(x)-2cdot p2(x)+3cdot p3(x)=-2,p2(x)+3,p3(x)

Resposta

p = -2,p2 + 3,p3

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