Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto do espaço vetorial é L.I. ou L.D. ; V=P_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
no espaço vetorial , ou seja, polinômios de grau até 2. Queremos determinar se esses dois polinômios são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de independência linear: é L.I. se toda combinação
implica .
Passo 2
Montamos a combinação linear nula:
onde o é o polinômio zero, isto é, .
Passo 3
Para que dois polinômios sejam iguais, os coeficientes de termos iguais devem coincidir. Então, coletando coeficientes em potências de , obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema, note que da primeira e da segunda equação
(a + 5b) - (a + 2b) = 3b = 0
vem b = 0. Substituindo em a + 2b = 0, temos a = 0. A terceira equação também fica satisfeita. Logo, a única solução é a = b = 0, ou seja, só existe a combinação trivial.