Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto S do espaço vetorial V é L.I. ou L.D.
S=1+t-t^2, 2+5 t-9 t^2 ; V=P_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = ,1 + t - t^2,;2 + 5t - 9t^2
no espaço vetorial V = P2(R), ou seja, polinômios de grau até 2. Queremos determinar se esses dois polinômios são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de independência linear: S é L.I. se toda combinação
a,(1+t - t^2) + b,(2 + 5t - 9t^2) = 0
implica a = b = 0.

Passo 2

Montamos a combinação linear nula:
a,(1 + t - t^2) + b,(2 + 5t - 9t^2) = 0,
onde o 0 é o polinômio zero, isto é, 0 + 0,t + 0,t^2.

Passo 3

Para que dois polinômios sejam iguais, os coeficientes de termos iguais devem coincidir. Então, coletando coeficientes em potências de t, obtemos o sistema
constante:& a + 2b = 0, coeficiente de t:& a + 5b = 0, coeficiente de t^2:& -a -9b = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema, note que da primeira e da segunda equação
(a + 5b) - (a + 2b) = 3b = 0
vem b = 0. Substituindo em a + 2b = 0, temos a = 0. A terceira equação também fica satisfeita. Logo, a única solução é a = b = 0, ou seja, só existe a combinação trivial.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente (L.I.).

Exercícios relacionados