Os conjuntos abaixo são subconjuntos de R^3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais do R^3 relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
a) S=(x, y, z) / z=x-y

Passo 1

O conjunto é
S = (x,y,z)in R^3 mid z = x - y
Para mostrar que S é subespaço vetorial de R^3 com as operações usuais, precisamos verificar três propriedades:
  • O vetor zero pertence a S.
  • S é fechado sob adição.
  • S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que 0=(0,0,0) pertence a S.
Substituindo em z = x - y temos 0 = 0 - 0, logo 0in S.

Passo 3

Fecho sob adição e multiplicação escalar.
Tomando
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)in S,
sabemos que z1=x1-y1 e z2=x2-y2. Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
satisfaz
z1+z2 = (x1 - y1)+(x2 - y2) = (x1+x2)-(y1+y2),
logo u+vin S.
Para lambdainR e u=(x,y,z)in S,
lambdau=(lambda x,lambda y,lambda z) e lambda z = lambda(x-y)=lambda x - lambda y,
portanto lambdauin S.

Passo 4

Como 0in S e S é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

S é subespaço vetorial de R^3.

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