Determine a transformação linear T: R^3 P2 que satisfaz:
T(0,1,2)=6-t+t^2, T(1,1,0)=2-t e T(0,0,1)=t
Além disso, encontre T(1,2,3).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^3 to P2
sujeita a
T(0,1,2)=6 - t + t^2, T(1,1,0)=2 - t, T(0,0,1)=t
O objetivo é achar uma fórmula geral para T(x,y,z) usando linearidade e depois calcular T(1,2,3).

Passo 2

Note que os vetores
v1=(1,1,0), v2=(0,1,2), v3=(0,0,1)
formam base de R^3. Para um vetor genérico (x,y,z) escrevemos
(x,y,z)=alpha,v1+beta,v2+gamma,v3
o que dá o sistema
(x,y,z)=(alpha,;alpha+beta,;2beta+gamma)
Dessa forma
alpha = x, beta = y - x, gamma = z - 2beta = z - 2(y - x)

Passo 3

Pela linearidade
T(x,y,z) =alpha,T(1,1,0)+beta,T(0,1,2)+gamma,T(0,0,1)
Substituindo alpha, beta, gamma e os valores dados, obtemos
T(x,y,z) = x(2 - t)+(y-x)(6 - t + t^2)+l(z-2(y-x)r),t
Coletando termos em 1, t e t^2, chega-se a
boxed T(x,y,z) =(6y-4x);+;(z+2x-3y),t;+;(y-x),t^2

Passo 4

Para (x,y,z)=(1,2,3) temos direto da fórmula
T(1,2,3) =(6cdot2-4cdot1)+(3+2cdot1-3cdot2),t+(2-1),t^2 =8 - t + t^2

Resposta

A transformação geral é
T(x,y,z) = (6y-4x) + (z+2x-3y),t + (y-x),t^2,
e
T(1,2,3)=8 - t + t^2

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