Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se uma determinada função é uma transformação linear. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela funciona com matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é uma transformação linear se ela satisfaz duas propriedades básicas para todos os vetores
e
e para qualquer escalar
:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. A função está definida como:
O determinante de uma matriz
é calculado por:
Passo 4
Vamos verificar a propriedade da adição. Se pegarmos duas matrizes
e
, então:
Calculando
:
Expandindo isso:
Compare isso com
:
Claramente,
, a menos que os termos cruzados se anulem, o que não acontece em geral.
Passo 5
Como a função
não satisfaz a propriedade da adição, já podemos concluir que ela não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a segunda propriedade porque já falhamos na primeira.
Resposta
A função
definida pelo determinante não é uma transformação linear.