Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
T: M(2,2) R definida por T([llx & y z & w])=det[llx & y z & w].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se uma determinada função é uma transformação linear. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela funciona com matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T é uma transformação linear se ela satisfaz duas propriedades básicas para todos os vetores u e v e para qualquer escalar c :
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função T . A função está definida como:
T( x & y z & w ) = det x & y z & w
O determinante de uma matriz 2 times 2 é calculado por:
det x & y z & w = xw - yz

Passo 4

Vamos verificar a propriedade da adição. Se pegarmos duas matrizes A = x1 & y1 z1 & w1 e B = x2 & y2 z2 & w2 , então:
A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & w1 + w2
Calculando T(A + B) :
T(A + B) = det x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & w1 + w2 = (x1 + x2)(w1 + w2) - (y1 + y2)(z1 + z2)
Expandindo isso:
= x1w1 + x1w2 + x2w1 + x2w2 - y1z1 - y1z2 - y2z1 - y2z2
Compare isso com T(A) + T(B) :
T(A) + T(B) = (x1w1 - y1z1) + (x2w2 - y2z2) = x1w1 + x2w2 - y1z1 - y2z2
Claramente, T(A + B) neq T(A) + T(B) , a menos que os termos cruzados se anulem, o que não acontece em geral.

Passo 5

Como a função T não satisfaz a propriedade da adição, já podemos concluir que ela não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a segunda propriedade porque já falhamos na primeira.

Resposta

A função T definida pelo determinante não é uma transformação linear.

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