(a) Encontre o polinômio minimal de .
(b) é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear
em . Para achar o polinômio minimal de e verificar se ele é diagonalizável, vamos primeiro obter a matriz de na base canônica, depois o polinômio característico, as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores, e daí extrair o polinômio minimal e a condição de diagonalização.
Portanto os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=2 (multiplicidade algébrica 1).
Passo 4
Precisamos da dimensão do espaço próprio para . Resolvemos
Da primeira equação vem . Das demais obtemos e então . Logo os vetores próprios têm forma , ou seja o espaço próprio de é gerado por e tem dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica de é 1 < 2 (sua multiplicidade algébrica), não há base de autovetores completa.
Passo 5
O polinômio minimal mT(lambda) deve conter cada fator (lambda-lambdai) elevado à potência igual ao tamanho do maior bloco de Jordan de lambdai. Aqui lambda=1 tem bloco de tamanho 2 e lambda=2 bloco de tamanho 1, logo
mT(lambda) = (lambda-1)^2(lambda-2)
Além disso, como a multiplicidade geométrica de lambda=1 é menor que a algébrica, T não é diagonalizável.
Resposta
(a) mT(lambda) = (lambda-1)^2(lambda-2).
(b) T não é diagonalizável, pois o autovalor lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2 mas multiplicidade geométrica 1.