(a) Encontre o polinômio minimal de .
(b) é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
e pede (a) o polinômio minimal de e (b) verificar se é diagonalizável. O conteúdo principal é álgebra linear: polinômio característico, autovalores, autovetores e polinômio minimal.
Passo 2
Escrevemos a matriz de na base canônica :
O polinômio característico vem de det(lambda I - A). Calculamos
Portanto os autovalores são lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e lambda=2 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 4
Para resolvemos . A matriz é
cuja linha 2 é o dobro da linha 1 e linha 3 igual à linha 1, então . O espaço nulo tem dimensão
ou seja, a multiplicidade geométrica de é 2. Para a multiplicidade algébrica é 1, então a geométrica é no máximo 1 e de fato é 1. Assim há autovetores linearmente independentes.
Passo 5
Como cada autovalor tem espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica, T é diagonalizável. Além disso, o polinômio minimal tem que conter cada fator (lambda-lambdai) elevado ao maior tamanho de bloco de Jordan correspondente. Aqui todos os blocos têm tamanho 1, logo
mT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)
Resposta
(a) mT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)
(b) T é diagonalizável, pois possui 3 autovetores independentes e seu polinômio minimal tem raízes simples.