Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(4 x-2 y+2 z, 6 x-3 y+4 z, 3 x-2 y+3 z)
(a) Encontre o polinômio minimal de T.
(b) T é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(4x-2y+2z,;6x-3y+4z,;3x-2y+3z)
e pede (a) o polinômio minimal de T e (b) verificar se T é diagonalizável. O conteúdo principal é álgebra linear: polinômio característico, autovalores, autovetores e polinômio minimal.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica e1,e2,e3:
A= 4 & -2 & 2 6 & -3 & 4 3 & -2 & 3
O polinômio característico vem de det(lambda I - A). Calculamos
det(A-lambda I) = 4-lambda & -2 & 2 6 & -3-lambda & 4 3 & -2 & 3-lambda ,
que ao expandir dá, após simplificações,
det(A-lambda I) = -l(lambda^3 -4lambda^2 +5lambda -2r)
Logo, o polinômio característico (usando det(lambda I -A)) é
p(lambda)=lambda^3 -4lambda^2 +5lambda -2

Passo 3

Fatoramos p(lambda) por raízes racionais. Testando lambda=1:
1-4+5-2=0,
logo lambda=1 é raiz. Dividindo por lambda-1 obtemos
lambda^3 -4lambda^2 +5lambda -2 = (lambda-1)(lambda^2 -3lambda +2) =(lambda-1)^2(lambda-2)
Portanto os autovalores são lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e lambda=2 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para resolvemos . A matriz é
cuja linha 2 é o dobro da linha 1 e linha 3 igual à linha 1, então . O espaço nulo tem dimensão
ou seja, a multiplicidade geométrica de é 2. Para a multiplicidade algébrica é 1, então a geométrica é no máximo 1 e de fato é 1. Assim há autovetores linearmente independentes.

Passo 5

Como cada autovalor tem espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica, T é diagonalizável. Além disso, o polinômio minimal tem que conter cada fator (lambda-lambdai) elevado ao maior tamanho de bloco de Jordan correspondente. Aqui todos os blocos têm tamanho 1, logo
mT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)

Resposta

(a) mT(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)
(b) T é diagonalizável, pois possui 3 autovetores independentes e seu polinômio minimal tem raízes simples.

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