Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. Verifique que V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre V :
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e alpha(x, y)=(x, alpha y);

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (x,y)mid x,yinR
com a soma usual
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,,y1+y2)
e a multiplicação por escalar dada por
alphacdot(x,y)=(x,,alpha y)
Queremos ver que, sob essas operações, V não satisfaz todas as axiomas de espaço vetorial (por exemplo, falha a propriedade 0cdot v=0V ou a distributividade dos escalares).

Passo 2

Um dos axiomas de espaço vetorial exige que, para todo vetor vin V,
0cdot v = 0V,
onde 0 do lado esquerdo é o escalar zero e 0V é o vetor nulo em V. Aqui, 0V deve ser o elemento neutro da soma em V, isto é (0,0).

Passo 3

Tomemos um vetor genérico v=(x,y). Pela definição de multiplicação por escalar temos
0cdot(x,y)=(x,,0cdot y)=(x,0)
Para que isso fosse igual ao vetor nulo (0,0) teríamos de ter (x,0)=(0,0) para todo x,y. Isso só é verdade se x=0, mas o axioma exige que valha para qualquer x. Logo,
0cdot(x,y)neq(0,0)em >=ral

Passo 4

Como falha o axioma 0cdot v=0V, concluímos que V não é um espaço vetorial com essas operações.

Resposta

V não é um espaço vetorial, pois não satisfaz a propriedade 0cdot v=0V.

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