Seja
o conjunto dos pares ordenados de números reais. Verifique que
não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre
:
;
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a soma usual
e a multiplicação por escalar dada por
Queremos ver que, sob essas operações,
não satisfaz todas as axiomas de espaço vetorial (por exemplo, falha a propriedade
ou a distributividade dos escalares).
Passo 2
Um dos axiomas de espaço vetorial exige que, para todo vetor
,
onde
do lado esquerdo é o escalar zero e
é o vetor nulo em
. Aqui,
deve ser o elemento neutro da soma em
, isto é
.
Passo 3
Tomemos um vetor genérico
. Pela definição de multiplicação por escalar temos
Para que isso fosse igual ao vetor nulo
teríamos de ter
para todo
. Isso só é verdade se
, mas o axioma exige que valha para qualquer
. Logo,
Passo 4
Como falha o axioma
, concluímos que
não é um espaço vetorial com essas operações.