Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial P(R)? Justifique.
Os polinômios da forma p(t)=a+t^2 com a in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,p(t)=a + t^2 mid ainR
é um subespaço do espaço vetorial P(R) (polinômios de coeficientes reais). Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
  1. 0in S.
  2. Se p,qin S então p+qin S.
  3. Se pin S e lambdainR então lambda pin S.

Passo 2

Verificamos a existência do polinômio zero em S. O polinômio zero é
0(t)equiv 0
Para 0(t) pertencer a S precisaria existir ainR tal que
a + t^2 equiv 0
Isso exigiria t^2equiv -a para todo t, o que é impossível já que t^2 varia com t. Logo, não há a que produza o polinômio zero, isto é,
0(t)notin S

Passo 3

Mesmo sem o zero, podemos também checar o fechamento em soma para reforçar a conclusão. Tomemos
p1(t)=a1 + t^2, p2(t)=a2 + t^2
com a1,a2inR. Então
p1(t)+p2(t) =(a1 + t^2)+(a2 + t^2) =(a1+a2)+2,t^2
Para que p1+p2 estivesse em S o coeficiente de t^2 teria de ser 1, mas aqui é 2. Portanto
p1+p2notin S

Passo 4

Verificamos também o fechamento em multiplicação escalar. Para lambdainR e
p(t)=a+t^2,
temos
lambda p(t)=lambda a + lambda,t^2
Para lambda p pertencer a S o coeficiente de t^2 deveria ser 1, mas é lambda. Isso só ocorre se lambda=1. Para lambdaneq1 não vale, logo
lambda pnotin S(para lambdaneq1)

Resposta

O conjunto S=a+t^2mid ainR não é subespaço de P(R), pois falha em conter o polinômio zero e não é fechado nem sob soma nem sob multiplicação escalar.

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