Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique.
Os polinômios da forma
.
Os polinômios da forma
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
(polinômios de coeficientes reais). Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificamos a existência do polinômio zero em
. O polinômio zero é
Para
pertencer a
precisaria existir
tal que
Isso exigiria
para todo
, o que é impossível já que
varia com
. Logo, não há
que produza o polinômio zero, isto é,
Passo 3
Mesmo sem o zero, podemos também checar o fechamento em soma para reforçar a conclusão. Tomemos
com
. Então
Para que
estivesse em
o coeficiente de
teria de ser
, mas aqui é
. Portanto
Passo 4
Verificamos também o fechamento em multiplicação escalar. Para
e
temos
Para
pertencer a
o coeficiente de
deveria ser
, mas é
. Isso só ocorre se
. Para
não vale, logo
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
, pois falha em conter o polinômio zero e não é fechado nem sob soma nem sob multiplicação escalar.