Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial P(R)? Justifique.
Os polinômios de grau <= 3 com coeficientes inteiros.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
W = ,p(x)in P(R) mid deg p <= 3 e todos os coeficientes de p são inteiros ã
é subespaço do espaço vetorial P(R). Lembrando que, para ser subespaço, W deve satisfazer:
  1. conter o vetor zero;
  2. ser fechado sob soma;
  3. ser fechado sob multiplicação por escalares em R.

Passo 2

Verificamos o vetor zero: o polinômio zero 0(x)=0 tem todos os coeficientes iguais a 0, que é inteiro, e deg 0<=3. Logo 0(x)in W.

Passo 3

Fechamento sob soma: se
p(x)=a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3, q(x)=b0 + b1 x + b2 x^2 + b3 x^3
têm coeficientes ai,biinZ, então
p(x)+q(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+cdots+(a3+b3)x^3,
e ai+biinZ. Além disso deg(p+q)<=3. Assim p+qin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: tome lambdainR e um polinômio p(x)in W com coeficientes aiinZ. Então
lambda,p(x)=lambda a0 + lambda a1 x + cdots + lambda a3 x^3,
e em geral lambda ainotinZ se lambdanotinZ. Por exemplo, para lambda=tfrac12 e p(x)=x obtemos tfrac12x, cujo coeficiente tfrac12 não é inteiro. Logo lambda pnotin W.

Passo 5

Como W falha na condição de fechamento sob multiplicação por escalares em R, concluímos que W não é subespaço de P(R).

Resposta

O conjunto dos polinômios de grau <=3 com coeficientes inteiros não é subespaço de P(R), pois não é fechado sob multiplicação por escalares reais.

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