Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique.
Os polinômios de grau
coeficientes inteiros.
Os polinômios de grau
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
é subespaço do espaço vetorial
. Lembrando que, para ser subespaço,
deve satisfazer:
- conter o vetor zero;
- ser fechado sob soma;
- ser fechado sob multiplicação por escalares em
.
Passo 2
Verificamos o vetor zero: o polinômio zero
tem todos os coeficientes iguais a
, que é inteiro, e
. Logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma: se
têm coeficientes
, então
e
. Além disso
. Assim
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: tome
e um polinômio
com coeficientes
. Então
e em geral
se
. Por exemplo, para
e
obtemos
, cujo coeficiente
não é inteiro. Logo
.
Passo 5
Como
falha na condição de fechamento sob multiplicação por escalares em
, concluímos que
não é subespaço de
.
Resposta
O conjunto dos polinômios de grau
com coeficientes inteiros não é subespaço de
, pois não é fechado sob multiplicação por escalares reais.