Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique.
Todos os polinômios em
tais que
.
Todos os polinômios em
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é um subespaço de
. Vamos usar o critério padrão: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
- o vetor zero de
está em ; -
é fechado sob adição; -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificar se o polinômio zero está em
.
O polinômio zero é para todo
, e em particular
O polinômio zero é
Logo
.
Passo 3
Verificar fechamento sob adição.
Sejam . Então
e
. Considere o polinômio
. Temos
Sejam
Portanto
, mostrando que
é fechado sob soma.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação escalar.
Seja e
. Considere
. Então
Seja
logo
. Isso mostra o fechamento escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
.