Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial P(R)? Justifique.
Todos os polinômios em P(R) tais que p(0)=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
S = lpin P(R) mid p(0)=0r
é um subespaço de P(R). Vamos usar o critério padrão: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. o vetor zero de V está em W;
  2. W é fechado sob adição;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se o polinômio zero está em S.
O polinômio zero é p0(x)=0 para todo x, e em particular
p0(0)=0
Logo p0in S.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição.
Sejam p,qin S. Então p(0)=0 e q(0)=0. Considere o polinômio r=p+q. Temos
r(0) = p(0) + q(0) = 0 + 0 = 0
Portanto rin S, mostrando que S é fechado sob soma.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar.
Seja pin S e alphainR. Considere q=alpha p. Então
q(0) = alpha,p(0) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha pin S. Isso mostra o fechamento escalar.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de P(R).

Resposta

O conjunto pin P(R)mid p(0)=0 é um subespaço de P(R).

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