Seja
um corpo e seja
a interseção de todos os subcorpos de
. Prove que,
é o menor subcorpo de
(
é chamado de corpo primo de
).
Passo 1
O enunciado dá um corpo
e define
como a interseção de todos os subcorpos de
. Ou seja,
O que precisa ser provado: mostrar que
é um subcorpo de
e que ele é o menor subcorpo de
; isto é, que
está contido em qualquer outro subcorpo de
. Listo as informações relevantes que o enunciado deu:
- Temos o corpo
. - A família considerada é a coleção de todos os subcorpos de
. -
é a interseção dessa família (ou seja, os elementos que pertencem a todos os subcorpos de ).
Passo 2
Primeiro vamos provar que
não é vazio e que contém os elementos essenciais
e
. Explico por quê: por definição de subcorpo, todo subcorpo
de
deve conter os elementos neutros de
, isto é, o elemento neutro aditivo
e o neutro multiplicativo
. Portanto, como cada subcorpo contém
e
, a interseção de todos eles também contém
e
. Logo
, em particular
.
Passo 3
Agora vou mostrar que
é fechado sob adição e sob o inverso aditivo (ou seja, é subgrupo aditivo). Seja
. Pelo significado de interseção, isso quer dizer que para todo subcorpo
de
temos
e
. Como cada
é fechado sob adição, para todo esse
temos
. Como
pertence a cada subcorpo
, segue que
pertence à interseção
. Portanto
. De modo análogo, como cada subcorpo é fechado para inverso aditivo, se
então
para todo subcorpo
, e assim
. Concluímos que
é fechado sob
e
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação. Novamente, seja
. Então
pertencem a todo subcorpo
de
. Como cada
é fechado sob multiplicação, segue
para todo
. Logo
pertence à interseção
. Portanto
.
Passo 5
Mostramos que elementos não nulos de
têm inverso multiplicativo em
. Seja
com
. Então para todo subcorpo
temos
e, porque
é subcorpo,
tem inverso multiplicativo
em
. Assim
pertence a cada subcorpo
, e portanto
. Isso mostra fechamento por inverso multiplicativo para elementos não nulos.
Passo 6
Com os passos anteriores já temos todas as propriedades para afirmar que
é um subcorpo de
. Recapitulando:
contém
e
, é fechado sob adição e multiplicação e contém inversos aditivos e (para elementos não nulos) multiplicativos. Essas são exatamente as propriedades que definem um subcorpo, logo
é um subcorpo de
.
Passo 7
Agora provamos a minimalidade de
. Por definição de interseção, para qualquer subcorpo
de
a interseção de todos os subcorpos está contida em
. Formalmente, se
é a coleção de todos os subcorpos de
, então para todo
temos
Isto mostra que
está contido em qualquer outro subcorpo
de
. Portanto
é o menor (ou mínimo) subcorpo de
.
Passo 8
Uma explicação adicional, para fixar a intuição: o subcorpo
é gerado pelo elemento
de
usando as operações do corpo (somar
com ele mesmo, inverter, multiplicar etc.). Por isso
é chamado de corpo primo de
. Há uma classificação clássica: se o corpo
tem característica zero então
é isomorfo a
; se
tem característica
(um primo) então
é isomorfo a
. A ideia rápida é considerar a aplicação
dada por
; o núcleo dessa aplicação determina a característica e dá o isomorfismo indicado. (Isto é um comentário extra didático: não era estritamente necessário para provar minimalidade, mas ajuda a entender o que é
.)