Seja K um corpo e seja P a interseção de todos os subcorpos de K. Prove que, P é o menor subcorpo de K ( P é chamado de corpo primo de K ).

Passo 1

O enunciado dá um corpo K e define P como a interseção de todos os subcorpos de K. Ou seja,
P=\bigcap\{F\subseteq K \mid F \text{ é subcorpo de } K\}.é
O que precisa ser provado: mostrar que P é um subcorpo de K e que ele é o menor subcorpo de K; isto é, que P está contido em qualquer outro subcorpo de K. Listo as informações relevantes que o enunciado deu:
  • Temos o corpo K.
  • A família considerada é a coleção de todos os subcorpos de K.
  • P é a interseção dessa família (ou seja, os elementos que pertencem a todos os subcorpos de K).

Passo 2

Primeiro vamos provar que P não é vazio e que contém os elementos essenciais 0 e 1. Explico por quê: por definição de subcorpo, todo subcorpo F de K deve conter os elementos neutros de K, isto é, o elemento neutro aditivo 0 e o neutro multiplicativo 1. Portanto, como cada subcorpo contém 0 e 1, a interseção de todos eles também contém 0 e 1. Logo 0,1\in P, em particular P\neq\varnothing.

Passo 3

Agora vou mostrar que P é fechado sob adição e sob o inverso aditivo (ou seja, é subgrupo aditivo). Seja a,b\in P. Pelo significado de interseção, isso quer dizer que para todo subcorpo F de K temos a\in F e b\in F. Como cada F é fechado sob adição, para todo esse F temos a+b\in F. Como a+b pertence a cada subcorpo F, segue que a+b pertence à interseção P. Portanto a+b\in P. De modo análogo, como cada subcorpo é fechado para inverso aditivo, se a\in P então -a\in F para todo subcorpo F, e assim -a\in P. Concluímos que P é fechado sob + e -.

Passo 4

Mostramos que P é fechado sob multiplicação. Novamente, seja a,b\in P. Então a,b pertencem a todo subcorpo F de K. Como cada F é fechado sob multiplicação, segue ab\in F para todo F. Logo ab pertence à interseção P. Portanto ab\in P.

Passo 5

Mostramos que elementos não nulos de P têm inverso multiplicativo em P. Seja a\in P com a\neq 0. Então para todo subcorpo F temos a\in F e, porque F é subcorpo, a tem inverso multiplicativo a^{-1} em F. Assim a^{-1} pertence a cada subcorpo F, e portanto a^{-1}\in P. Isso mostra fechamento por inverso multiplicativo para elementos não nulos.

Passo 6

Com os passos anteriores já temos todas as propriedades para afirmar que P é um subcorpo de K. Recapitulando: P contém 0 e 1, é fechado sob adição e multiplicação e contém inversos aditivos e (para elementos não nulos) multiplicativos. Essas são exatamente as propriedades que definem um subcorpo, logo P é um subcorpo de K.

Passo 7

Agora provamos a minimalidade de P. Por definição de interseção, para qualquer subcorpo F de K a interseção de todos os subcorpos está contida em F. Formalmente, se \mathcal{S} é a coleção de todos os subcorpos de K, então para todo F\in\mathcal{S} temos
P=\bigcap_{G\in\mathcal{S}} G \subseteq F.
Isto mostra que P está contido em qualquer outro subcorpo F de K. Portanto P é o menor (ou mínimo) subcorpo de K.

Passo 8

Uma explicação adicional, para fixar a intuição: o subcorpo P é gerado pelo elemento 1 de K usando as operações do corpo (somar 1 com ele mesmo, inverter, multiplicar etc.). Por isso P é chamado de corpo primo de K. Há uma classificação clássica: se o corpo K tem característica zero então P é isomorfo a \mathbb{Q}; se K tem característica p (um primo) então P é isomorfo a \mathbb{F}_{p}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. A ideia rápida é considerar a aplicação \mathbb{Z}\to K dada por n\mapsto n\cdot 1; o núcleo dessa aplicação determina a característica e dá o isomorfismo indicado. (Isto é um comentário extra didático: não era estritamente necessário para provar minimalidade, mas ajuda a entender o que é P.)

Resposta

P é subcorpo de K e, para todo subcorpo F de K, vale P\subseteq F. Logo P é o menor subcorpo de K (o corpo primo de K).

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