Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, indique pelo menos um axioma que falha.
h) O conjunto de todos os pares de números reais da forma
com as operações
h) O conjunto de todos os pares de números reais da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se um conjunto específico é um espaço vetorial. O conjunto em questão é formado por todos os pares de números reais que têm a forma
, e as operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de um jeito específico:
Pra resolver isso, a gente precisa lembrar dos axiomas de espaços vetoriais e verificar se todas essas regrinhas são cumpridas nesse conjunto com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidinho o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e tudo isso de forma que certas propriedades (axiomas) sejam verdadeiras. Esses axiomas garantem que o conjunto se comporte “bem” matematicamente.
Passo 3
Agora, vamos verificar os axiomas um por um para ver se eles são satisfeitos pelo nosso conjunto
com as operações dadas.
Axioma 1: Fechamento na adição
Quando a gente soma dois vetores do conjunto, o resultado também precisa estar no conjunto.
Vendo isso, o primeiro componente sempre é 1, e o segundo componente é a soma de dois reais. Então, sim, o resultado está no conjunto
.
Axioma 2: Comutatividade da adição
A ordem da soma não altera o resultado.
Isso tá ok.
Axioma 3: Associatividade da adição
A soma deve ser associativa.
E
Também tá tranquilo.
Axioma 4: Elemento neutro
Tem que existir um vetor no conjunto que, ao somar com qualquer outro vetor, não muda ele.
Vamos tentar achar o vetor zero
tal que:
Pelo definido da adição:
Isso implica que
. Mas e o primeiro componente?
O primeiro componente deve ser 1, então
. Assim, o vetor neutro seria
, que de fato está no conjunto
. Então, tá ok.
Axioma 5: Inverso aditivo
Cada vetor precisa ter um inverso que, ao ser somado, dá o elemento neutro.
Para
, o inverso seria
, porque:
E
também está no conjunto
. Beleza.
Axioma 6: Fechamento na multiplicação por escalar
Multiplicar por um escalar deve manter o vetor no conjunto.
O primeiro componente sempre é 1, então o resultado está em
. Tá certo.
Axioma 7: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores
Precisamos que:
E:
Ambos lados iguais, então tá certo.
Axioma 8: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares
Precisamos que:
E:
Ambos iguais, então tá tranquilo.
Axioma 9: Associação da multiplicação por escalares
Precisamos que:
E:
Ambos iguais, tá certo.
Axioma 10: Multiplicação por 1
Multiplicar por 1 deve não mudar o vetor.
Perfeito.
Resposta
O conjunto de todos os pares da forma
com as operações dadas não é um espaço vetorial, pois falha no axioma da existência do vetor zero. O vetor zero exigido seria
, mas no nosso conjunto todo primeiro componente é 1, então não existe o vetor zero.