Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, indique pelo menos um axioma que falha.
h) O conjunto de todos os pares de números reais da forma (1, x) com as operações
(1, y1)+(1, y2)=(1, y1+y2) e k(1, y)=(1, k y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se um conjunto específico é um espaço vetorial. O conjunto em questão é formado por todos os pares de números reais que têm a forma (1, x), e as operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de um jeito específico:
(1, y1) + (1, y2) = (1, y1+y2) e k(1, y) = (1, k y)
Pra resolver isso, a gente precisa lembrar dos axiomas de espaços vetoriais e verificar se todas essas regrinhas são cumpridas nesse conjunto com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidinho o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e tudo isso de forma que certas propriedades (axiomas) sejam verdadeiras. Esses axiomas garantem que o conjunto se comporte “bem” matematicamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar os axiomas um por um para ver se eles são satisfeitos pelo nosso conjunto (1, y1) + (1, y2) = (1, y1+y2) com as operações dadas.

Axioma 1: Fechamento na adição

Quando a gente soma dois vetores do conjunto, o resultado também precisa estar no conjunto.
(1, y1) + (1, y2) = (1, y1+y2) = (1, y2+y1) = (1, y2) + (1, y1)
Vendo isso, o primeiro componente sempre é 1, e o segundo componente é a soma de dois reais. Então, sim, o resultado está no conjunto (1, y1) + ((1, y2) + (1, y3)) = (1, y1) + (1, y2+y3) = (1, y1 + y2 + y3) .

Axioma 2: Comutatividade da adição

A ordem da soma não altera o resultado.
((1, y1) + (1, y2)) + (1, y3) = (1, y1+y2) + (1, y3) = (1, y1+y2+y3)
Isso tá ok.

Axioma 3: Associatividade da adição

A soma deve ser associativa.
(1, y) + (a, b) = (1, y)
E
(1, y) + (a, b) = (1, y + b) = (1, y)
Também tá tranquilo.

Axioma 4: Elemento neutro

Tem que existir um vetor no conjunto que, ao somar com qualquer outro vetor, não muda ele.
Vamos tentar achar o vetor zero (1, y) + (1, -y) = (1, y - y) = (1, 0) tal que:
k(1, y) = (1, k y)
Pelo definido da adição:
k( (1, y1) + (1, y2) ) = k(1, y1 + y2) = (1, k(y1 + y2))
Isso implica que k(1, y1) + k(1, y2) = (1, k y1) + (1, k y2) = (1, k y1 + k y2) . Mas e o primeiro componente?
O primeiro componente deve ser 1, então (k + m)(1, y) = (1, (k + m)y) . Assim, o vetor neutro seria k(1, y) + m(1, y) = (1, k y) + (1, m y) = (1, k y + m y) , que de fato está no conjunto k(m(1, y)) = k(1, m y) = (1, k (m y)) . Então, tá ok.

Axioma 5: Inverso aditivo

Cada vetor precisa ter um inverso que, ao ser somado, dá o elemento neutro.
Para (k m)(1, y) = (1, (k m) y) , o inverso seria 1(1, y) = (1, 1 cdot y) = (1, y) , porque:
E também está no conjunto . Beleza.

Axioma 6: Fechamento na multiplicação por escalar

Multiplicar por um escalar deve manter o vetor no conjunto.
O primeiro componente sempre é 1, então o resultado está em . Tá certo.

Axioma 7: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores

Precisamos que:
E:
Ambos lados iguais, então tá certo.

Axioma 8: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares

Precisamos que:
E:
Ambos iguais, então tá tranquilo.

Axioma 9: Associação da multiplicação por escalares

Precisamos que:
E:
Ambos iguais, tá certo.

Axioma 10: Multiplicação por 1

Multiplicar por 1 deve não mudar o vetor.
Perfeito.

Resposta

O conjunto de todos os pares da forma (1, x) com as operações dadas não é um espaço vetorial, pois falha no axioma da existência do vetor zero. O vetor zero exigido seria (0, 0), mas no nosso conjunto todo primeiro componente é 1, então não existe o vetor zero.

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