Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
. Nosso objetivo é descobrir se
é um subespaço vetorial do espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar revisar os conceitos de subespaço vetorial e verificar três propriedades fundamentais: se
não está vazio, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
não está vazio. Para isso, precisamos encontrar pelo menos um polinômio em
que satisfaça a condição
. Vamos considerar o polinômio nulo,
.
Calculando:
Portanto,
A igualdade é verdadeira, então
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se
e
estão em
, então
também está em
.
Se
e
estão em
, temos:
Vamos somar os dois polinômios:
Portanto,
também satisfaz a condição
, ou seja, está em
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se
está em
e
é um escalar qualquer, então
também deve estar em
.
Sabemos que
está em
, então:
Multiplicando por
:
Portanto,
também satisfaz a condição
, o que significa que
está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não está vazio, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.