Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de P2 ? Justifique.
W=p(t) in P2 mid p(0)=2 p(1).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto W = p(t) in P2 mid p(0) = 2 p(1) . Nosso objetivo é descobrir se W é um subespaço vetorial do espaço P2 , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar revisar os conceitos de subespaço vetorial e verificar três propriedades fundamentais: se W não está vazio, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se W não está vazio. Para isso, precisamos encontrar pelo menos um polinômio em P2 que satisfaça a condição p(0) = 2 p(1) . Vamos considerar o polinômio nulo, p(t) = 0 .
Calculando:
p(0) = 0 e p(1) = 0
Portanto,
p(0) = 2 p(1) Rightarrow 0 = 2 times 0
A igualdade é verdadeira, então W não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Ou seja, se p(t) e q(t) estão em W , então p(t) + q(t) também está em W .
Se p(t) e q(t) estão em W , temos:
p(0) = 2 p(1) e q(0) = 2 q(1)
Vamos somar os dois polinômios:
(p + q)(0) = p(0) + q(0) = 2 p(1) + 2 q(1) = 2 (p(1) + q(1)) = 2 (p + q)(1)
Portanto, p(t) + q(t) também satisfaz a condição (p + q)(0) = 2 (p + q)(1) , ou seja, está em W . Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se p(t) está em W e c é um escalar qualquer, então c cdot p(t) também deve estar em W .
Sabemos que p(t) está em W , então:
p(0) = 2 p(1)
Multiplicando por c :
c cdot p(0) = c cdot 2 p(1) Rightarrow (c cdot p)(0) = 2 (c cdot p)(1)
Portanto, c cdot p(t) também satisfaz a condição (c cdot p)(0) = 2 (c cdot p)(1) , o que significa que c cdot p(t) está em W . Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W não está vazio, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de P2 .

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