Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, 2^y, 2^z)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = l(x,2^y,2^zr)
Para ser transformação linear, T deve satisfazer dois axiomas para todos u,vinR^3 e todo escalar c:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(c,u)=c,T(u).

Passo 2

Teste da aditividade. Seja
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
T(u+v)=T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) =l(x1+x2,;2^,y1+y2,;2^,z1+z2r)
Por outro lado,
T(u)+T(v) =l(x1,2^y1,2^z1r) +l(x2,2^y2,2^z2r) =l(x1+x2,;2^y1+2^y2,;2^z1+2^z2r)
Como em geral
2^y1+y2=2^y1cdot2^y2neq2^y1+2^y2,
vemos que T(u+v)neq T(u)+T(v). Logo falha a aditividade.

Passo 3

Teste da homogeneidade. Seja cinR e u=(x,y,z).
T(c,u)=T(c x,;c y,;c z) =l(c x,;2^c y,;2^c zr),
enquanto
c,T(u) =cl(x,2^y,2^zr) =l(c x,;c,2^y,;c,2^zr)
Em geral 2^c yneq c,2^y, então falha também a homogeneidade.

Resposta

A aplicação T não é uma transformação linear.

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