Questão 1. (20pt) Considere os vetores u=(1,2,0), v=(-1,4,2) w=(-3,-1,1)
Seja r=4(2 u-3 v)-5(2 w-2 v).
a) (5 pt) O ângulo entre u e v é reto, agudo, obtuso?
b) ( 15 pt ) Calcule o comprimento do vetor r.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores u=(1,2,0), v=(-1,4,2) e w=(-3,-1,1). Define-se
r=4l(2u-3vr);-;5l(2w-2vr)
A parte (a) pede a classificação do ângulo entre u e v (reto, agudo ou obtuso), o que se faz com o produto escalar. A parte (b) requer o comprimento de r, ou seja, sua norma.

Passo 2

Para saber se o ângulo entre u e v é reto, agudo ou obtuso, calculamos
ucdotv =1cdot(-1)+2cdot4+0cdot2 =-1+8+0 =7
Como ucdotv=7>0, o ângulo é agudo.

Passo 3

Vamos expandir r. Primeiro,
2u-3v =(2,4,0)-(-3,12,6) =(2+3,;4-12,;0-6) =(5,-8,-6),
4l(2u-3vr) =4,(5,-8,-6) =(20,-32,-24)
Em seguida,
2w-2v =(-6,-2,2)-(-2,8,4) =(-6+2,;-2-8,;2-4) =(-4,-10,-2),
-5l(2w-2vr) =-5,(-4,-10,-2) =(20,50,10)
Portanto,
r =(20,-32,-24)+(20,50,10) =(40,18,-14)

Passo 4

O comprimento (norma) de r=(40,18,-14) é
|r| =raiz40^2+18^2+(-14)^2 =raiz1600+324+196 =raiz2120 =2raiz530

Resposta

a) O ângulo entre u e v é agudo.
b) |r|=2raiz530

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