Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(3 x, a, 5 z)

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(3x,a,5z)
e pede para verificar se ela é linear. Para isso vamos usar o fato crucial de que toda transformação linear deve satisfazer
  1. T(0,0,0)=(0,0,0),
  2. T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,u)=c,T(u) para todo u,vinR^3 e todo escalar c.

Passo 2

Calculamos a imagem do vetor nulo:
T(0,0,0) = (3cdot0,;a,;5cdot0) = (0,a,0)
Como uma transformação linear exige T(0,0,0)=(0,0,0), já vemos que é preciso ter
a=0

Passo 3

Concluímos que se aneq0, então T(0)neq0 e logo T não pode ser linear. Se a=0, a aplicação fica
T(x,y,z) = (3x,0,5z)

Passo 4

Supondo a=0, verificamos agora aditividade e homogeneidade. Dados
,u=(x,y,z), ,v=(x',y',z') e escalar c, temos
T(u+v) = (3(x+x'),0,5(z+z')) = (3x,0,5z)+(3x',0,5z') = T(u)+T(v),
T(c,u) = (3(cx),0,5(cz)) = c,(3x,0,5z) = c,T(u)
Logo, para a=0, T satisfaz todos os requisitos de linearidade.

Resposta

A aplicação T é linear se, e somente se, a=0. Caso aneq0, T não é linear.

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