Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
e pede para verificar se ela é linear. Para isso vamos usar o fato crucial de que toda transformação linear deve satisfazer
-
, -
e para todo e todo escalar .
Passo 2
Calculamos a imagem do vetor nulo:
Como uma transformação linear exige
, já vemos que é preciso ter
Passo 3
Concluímos que se
, então
e logo
não pode ser linear. Se
, a aplicação fica
Passo 4
Supondo
, verificamos agora aditividade e homogeneidade. Dados
,
e escalar
, temos
Logo, para
,
satisfaz todos os requisitos de linearidade.
Resposta
A aplicação
é linear se, e somente se,
. Caso
,
não é linear.