Quais dos conjuntos abaixo de vetores
de
é subespaço de
(com
)?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Lembrando que um subespaço deve satisfazer três propriedades principais:
- Conter o vetor zero.
- Ser fechado sob soma de vetores.
- Ser fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
.
Nesse caso, o primeiro componente é , e
é verdadeiro.
Logo, .
Nesse caso, o primeiro componente é
Logo,
Passo 3
Testamos a clausura sob soma. Se
e
estão em
, então
e
.
Assim,
Assim,
logo
. Portanto,
é fechado sob soma.
Passo 4
Testamos a clausura sob multiplicação escalar. Tome
com
e o escalar
.
Então
Então
ou seja,
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
.