Quais dos conjuntos abaixo de vetores v=(v1, ldots, vn) de R^n é subespaço de R^n (com n >= 3 )?
v in R^n mid v1 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = boldsymbol v in R^n mid v1 >= 0
é um subespaço de R^n. Lembrando que um subespaço deve satisfazer três propriedades principais:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob soma de vetores.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero boldsymbol 0=(0,0,dots,0) pertence a W.
Nesse caso, o primeiro componente é 0, e 0 >= 0 é verdadeiro.
Logo, boldsymbol 0 in W.

Passo 3

Testamos a clausura sob soma. Se boldsymbol u e boldsymbol v estão em W, então u1>=0 e v1>=0.
Assim,
(boldsymbol u + boldsymbol v)1 = u1 + v1 >= 0 + 0 = 0,
logo boldsymbol u + boldsymbol vin W. Portanto, W é fechado sob soma.

Passo 4

Testamos a clausura sob multiplicação escalar. Tome boldsymbol vin W com v1>0 e o escalar lambda=-1.
Então
(lambda boldsymbol v)1 = lambda,v1 = -1cdot v1 < 0,
ou seja, lambdaboldsymbol vnotin W. Portanto, W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Resposta

O conjunto boldsymbol vinR^nmid v1>=0 não é subespaço de R^n.

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