Obtenha uma base para cada um desses subespaços de . Qual a dimensão desses subespaços?
Todas as matrizes antissimétricas
Nota: é o espaço vetorial das matrizes com componentes reais. representa a matriz transposta de .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço de formado pelas matrizes antissimétricas (isto é, que satisfazem ). O conteúdo é teoria de espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão. Para resolver, vamos escrever a forma geral de uma matriz antissimétrica e identificar seus parâmetros livres.
Passo 2
Uma matriz é antissimétrica se e só se para e para . Logo, o parâmetro livre são os elementos acima da diagonal principal. Podemos escrever em bloco:
Passo 3
Os três parâmetros ,a,b,c correspondem a três matrizes que formam uma base do subespaço. Tomando cada parâmetro igual a 1 e os demais iguais a 0, temos: