Obtenha uma base para cada um desses subespaços de M3 times 3(R). Qual a dimensão desses subespaços?
Todas as matrizes antissimétricas (A^T=-A)
Nota: M3 times 3(R) é o espaço vetorial das matrizes 3 times 3 com componentes reais. A^T representa a matriz transposta de A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço de ,M3times3(R) formado pelas matrizes antissimétricas (isto é, que satisfazem A^T=-A). O conteúdo é teoria de espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão. Para resolver, vamos escrever a forma geral de uma matriz antissimétrica e identificar seus parâmetros livres.

Passo 2

Uma matriz A=(aij) é antissimétrica se e só se aii=0 para i=1,2,3 e aij=-aji para ineq j. Logo, o parâmetro livre são os elementos acima da diagonal principal. Podemos escrever em bloco:
A= 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0 , a,b,cinR

Passo 3

Os três parâmetros ,a,b,c correspondem a três matrizes que formam uma base do subespaço. Tomando cada parâmetro igual a 1 e os demais iguais a 0, temos:
E^(12)= 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E^(13)= 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 , E^(23)= 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0
Essas matrizes são linearmente independentes e geram todo o subespaço antissimétrico.

Passo 4

Como a base escolhida tem exatamente três elementos, a dimensão do subespaço de matrizes antissimétricas em M3times3(R) é 3.

Resposta

Uma base é
E^(12)=0&1&0-1&0&00&0&0, E^(13)=0&0&10&0&0-1&0&0, E^(23)=0&0&00&0&10&-1&0,
e a dimensão desse subespaço é 3.

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