Quais dos conjuntos abaixo de vetores v=(v1, ldots, vn) de R^n é subespaço de R^n (com n >= 3 )?
v in R^n mid v1 v2=0

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = boldsymbol vinR^n mid v1v2=0,
com n>=3, e pergunta se S é subespaço de R^n. Para isso usamos o teste de subespaço:
  1. S contém o vetor zero?
  2. S é fechado sob soma?
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar?

Passo 2

Verificamos o vetor zero. Como
boldsymbol 0=(0,0,dots,0)
tem-se
0cdot0=0,
logo boldsymbol 0in S.

Passo 3

Testamos o fechamento na soma. Considere
boldsymbol u=(1,0,0,dots,0), boldsymbol w=(0,1,0,dots,0)
Em boldsymbol u e em boldsymbol w vale
u1u2=1cdot0=0, w1w2=0cdot1=0,
portanto boldsymbol u,boldsymbol win S. Porém
boldsymbol u+boldsymbol w=(1,1,0,dots,0)
e nesse vetor
(1)(1)=1neq0,
o que implica boldsymbol u+boldsymbol wnotin S. Assim, S não é fechado sob soma.

Resposta

O conjunto não é subespaço de R^n, pois falha a condição de fechamento sob adição.

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