Quais dos conjuntos abaixo de vetores v=(v1, ldots, vn) de R^n é subespaço de R^n (com n >= 3 )?
v in R^n mid v2=v1^2

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = vinR^n mid v2 = v1^2,
com n>= 3. O conteúdo é subespaço vetorial de R^n. Pela definição, precisamos verificar três propriedades:
  1. o vetor zero pertence a S,
  2. S é fechado sob soma,
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero 0=(0,0,dots,0). Aqui v1=0 e v2=0, e de fato
0 = 0^2,
logo 0in S.

Passo 3

Considere v,win S, ou seja v2=v1^2 e w2=w1^2. Para a soma v+w temos
(v+w)1 = v1+w1, (v+w)2 = v2+w2 = v1^2+w1^2
Para pertencer a S, seria preciso
v1^2+w1^2 ;=;(v1+w1)^2 ;=;v1^2+2v1w1+w1^2,
o que exigiria 2v1w1=0 para todo v1,w1. Como isso não vale em geral, S não é fechado sob soma.

Resposta

O conjunto dado não é um subespaço de R^n.

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