Seja o subespaço de gerado pelo conjunto . Obtenha uma base e a dimensão de .
Passo 1
O enunciado define o subespaço gerado pelos vetores
Queremos encontrar uma base de e sua dimensão. Para isso vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, usando eliminação de Gauss para determinar o posto do sistema.
Passo 2
Colocamos os vetores como linhas de uma matriz e aplicamos eliminação:
O número de pivôs (posto) dessa matriz é a dimensão de [S].
Passo 3
Fazemos L2 L2-2L1 e L3 L3-3L1:
1 & -2 & 5 & -3 0 & 7 & -9 & 2 0 & 14 & -18 & 14
Passo 4
Agora L3 L3-2L2, obtendo
1 & -2 & 5 & -3 0 & 7 & -9 & 2 0 & 0 & 0 & 10
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 4, totalizando 3 pivôs. Logo o posto da matriz é 3.
Passo 5
Como o posto é 3, os três vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes em R^4. Portanto eles mesmos formam uma base de [S] e a dimensão de [S] é 3.