Seja [S] o subespaço de R^4 gerado pelo conjunto S=(1,-2,5,-3),(2,3,1,-4),(3,8,-3,5). Obtenha uma base e a dimensão de [S].

Passo 1

O enunciado define o subespaço [S]subsetR^4 gerado pelos vetores
v1=(1,-2,5,-3), v2=(2,3,1,-4), v3=(3,8,-3,5)
Queremos encontrar uma base de [S] e sua dimensão. Para isso vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, usando eliminação de Gauss para determinar o posto do sistema.

Passo 2

Colocamos os vetores como linhas de uma matriz e aplicamos eliminação:
1 & -2 & 5 & -3 2 & 3 & 1 & -4 3 & 8 & -3 & 5
O número de pivôs (posto) dessa matriz é a dimensão de [S].

Passo 3

Fazemos L2 L2-2L1 e L3 L3-3L1:
1 & -2 & 5 & -3 0 & 7 & -9 & 2 0 & 14 & -18 & 14

Passo 4

Agora L3 L3-2L2, obtendo
1 & -2 & 5 & -3 0 & 7 & -9 & 2 0 & 0 & 0 & 10
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 4, totalizando 3 pivôs. Logo o posto da matriz é 3.

Passo 5

Como o posto é 3, os três vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes em R^4. Portanto eles mesmos formam uma base de [S] e a dimensão de [S] é 3.

Resposta

Uma base de [S] é
(1,-2,5,-3),,(2,3,1,-4),,(3,8,-3,5)
e dim([S])=3.

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