Seja V o espaço vetorial de todas as funções reais: f: R R. Quais conjuntos de funções abaixo são subespaços de V ?
Todas as f ímpares, ou seja, f(-t)=-f(t)

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial de todas as funções f:RtoR e pergunta se o conjunto W de todas as funções ímpares, isto é, que satisfazem f(-t)=-f(t) para todo t, é um subespaço de V. Para mostrar que W é subespaço, precisamos verificar: (i) Wneqemptyset, (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificar se a função nula pertence a W. A função nula 0 é definida por 0(t)=0 para todo t. Então
0(-t)=0
e
-0(t)=-0=0,
logo 0(-t)=-0(t) e a função nula é ímpar. Portanto 0in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Se f e g são ímpares, então para todo t
(f+g)(-t)=f(-t)+g(-t)=-f(t)-g(t)=-(f(t)+g(t))=-(f+g)(t)
Logo f+gin W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalares. Se fin W e cinR, então
(cf)(-t)=c,f(-t)=cl(-f(t)r)=-c,f(t)=-(cf)(t),
logo cfin W.

Resposta

O conjunto de todas as funções ímpares é um subespaço de V.

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