Seja
o espaço vetorial de todas as funções reais:
. Quais conjuntos de funções abaixo são subespaços de
?
Todas as
ímpares, ou seja,
Todas as
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todas as funções
e pergunta se o conjunto
de todas as funções ímpares, isto é, que satisfazem
para todo
, é um subespaço de
. Para mostrar que
é subespaço, precisamos verificar: (i)
, (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificar se a função nula pertence a
. A função nula
é definida por
para todo
. Então
e
logo
e a função nula é ímpar. Portanto
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma. Se
e
são ímpares, então para todo
Logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação por escalares. Se
e
, então
logo
.
Resposta
O conjunto de todas as funções ímpares é um subespaço de
.