Seja
o espaço vetorial de todas as funções reais:
. Quais conjuntos de funções abaixo são subespaços de
?
Todos os polinômios.
Todos os polinômios.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todas as funções reais
e pede para verificar se o subconjunto formado por todos os polinômios é um subespaço de
. Para isso, precisamos checar três propriedades fundamentais: (1) o conjunto não é vazio, isto é, contém a função zero; (2) é fechado sob soma de funções; (3) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que o conjunto não é vazio. A função zero, dada por
para todo
, é um polinômio (coeficientes todos nulos). Logo, a função zero pertence ao conjunto, satisfazendo a primeira propriedade.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
e
dois polinômios de graus, digamos,
e
. A soma
é também um polinômio cujo grau é no máximo
. Portanto, a soma de quaisquer dois elementos do conjunto permanece dentro do conjunto de polinômios.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
um polinômio e
. O produto
continua sendo um polinômio (os coeficientes são simplesmente escalados por
). Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto de todos os polinômios é um subespaço de
.