Seja V o espaço vetorial de todas as funções reais: f: R R. Quais conjuntos de funções abaixo são subespaços de V ?
Todos os polinômios.

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial de todas as funções reais fcolon RtoR e pede para verificar se o subconjunto formado por todos os polinômios é um subespaço de V. Para isso, precisamos checar três propriedades fundamentais: (1) o conjunto não é vazio, isto é, contém a função zero; (2) é fechado sob soma de funções; (3) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o conjunto não é vazio. A função zero, dada por f(x)=0 para todo xinR, é um polinômio (coeficientes todos nulos). Logo, a função zero pertence ao conjunto, satisfazendo a primeira propriedade.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam p(x) e q(x) dois polinômios de graus, digamos, n e m. A soma
(p+q)(x)=p(x)+q(x)
é também um polinômio cujo grau é no máximo max(n,m). Portanto, a soma de quaisquer dois elementos do conjunto permanece dentro do conjunto de polinômios.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja p(x) um polinômio e alphainR. O produto
(alpha p)(x)=alpha,p(x)
continua sendo um polinômio (os coeficientes são simplesmente escalados por alpha). Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto de todos os polinômios é um subespaço de V.

Exercícios relacionados