Para os conjuntos de dados dos dois problemas abaixo, resolva os seguintes ítens:
a) Estime e interprete o coeficiente de correlação linear de Pearson para a amostra.
b) A correlação é significativa para a população? (faça o teste com
de significância)
c) Estime e interprete o modelo de regressão linear para explicar Y em função de X.
d) Encontre o coeficiente de determinação e interprete. Você considera o modelo adequado?
e) Estime a variância do erro.
Considere os dados abaixo em que Y é a pureza do oxigênio produzido em um processo químico de destilação e X é a porcentagem de hidrocarbonetos presentes no condensador principal da unidade de destilação.
Nível de hidrocarboneto (x)
Pureza do oxigênio (y)
0,99
90,01
1,02
89,05
1,15
91,43
1,29
93,74
1,23
91,77
1,40
93,65
a) Estime e interprete o coeficiente de correlação linear de Pearson para a amostra.
b) A correlação é significativa para a população? (faça o teste com
c) Estime e interprete o modelo de regressão linear para explicar Y em função de X.
d) Encontre o coeficiente de determinação e interprete. Você considera o modelo adequado?
e) Estime a variância do erro.
Considere os dados abaixo em que Y é a pureza do oxigênio produzido em um processo químico de destilação e X é a porcentagem de hidrocarbonetos presentes no condensador principal da unidade de destilação.
Nível de hidrocarboneto (x) | Pureza do oxigênio (y) |
0,99 | 90,01 |
1,02 | 89,05 |
1,15 | 91,43 |
1,29 | 93,74 |
1,23 | 91,77 |
1,40 | 93,65 |
Passo 1
O enunciado fornece seis pares
onde
é o nível de hidrocarboneto e
a pureza do oxigênio. Precisamos aplicar conceitos de correlação e regressão linear simples: calcular a média amostral, o coeficiente de correlação de Pearson, testar sua significância, ajustar o modelo
avaliar
e estimar a variância do erro
.
Passo 2
Calculemos as somas necessárias. Tem-se
Dessas, obtêm-se as médias
E as correções de somas:
Passo 3
O coeficiente de correlação de Pearson é
Interpretação: existe correlação positiva forte entre
e
.
Passo 4
Teste de significância de
para
contra
. A estatística é
com
graus de liberdade. O critério bicaudal a
tem
. Como
, rejeitamos
: a correlação é significativa.
Passo 5
Estimativa dos coeficientes do modelo
Modelo ajustado:
Interpretação: cada aumento de
em
eleva a pureza em cerca de
unidades.
Passo 6
O coeficiente de determinação é
Isso significa que
da variação de
é explicada pelo modelo linear em
. Dada a forte correlação e o
elevado, o modelo é adequado.
Passo 7
A variância do erro é estimada por
Resposta
a)
, correlação positiva e forte.
b) Teste , correlação significativa a
.
c) . A cada
de
,
cresce
.
d) ;
da variabilidade explicada; modelo adequado.
e) .
b) Teste
c)
d)
e)