Para os conjuntos de dados dos dois problemas abaixo, resolva os seguintes ítens:
a) Estime e interprete o coeficiente de correlação linear de Pearson para a amostra.
b) A correlação é significativa para a população? (faça o teste com 5 \% de significância)
c) Estime e interprete o modelo de regressão linear para explicar Y em função de X.
d) Encontre o coeficiente de determinação e interprete. Você considera o modelo adequado?
e) Estime a variância do erro.
Considere os dados abaixo em que Y é a pureza do oxigênio produzido em um processo químico de destilação e X é a porcentagem de hidrocarbonetos presentes no condensador principal da unidade de destilação.
Nível de hidrocarboneto (x) Pureza do oxigênio (y)
0,99 90,01
1,02 89,05
1,15 91,43
1,29 93,74
1,23 91,77
1,40 93,65

Passo 1

O enunciado fornece seis pares (x_i,y_i) onde x é o nível de hidrocarboneto e y a pureza do oxigênio. Precisamos aplicar conceitos de correlação e regressão linear simples: calcular a média amostral, o coeficiente de correlação de Pearson, testar sua significância, ajustar o modelo
y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon,
avaliar R^2 e estimar a variância do erro \sigma^2.

Passo 2

Calculemos as somas necessárias. Tem-se
n = 6,\quad \sum x_i = 7{,}08,\quad \sum y_i = 549{,}65,
\sum x_i^2 = 8{,}48,\quad \sum y_i^2 \approx 50\,370{,}39,\quad \sum x_i y_i \approx 649{,}94.
Dessas, obtêm-se as médias
\bar x = \frac{7{,}08}{6} = 1{,}18,\quad \bar y = \frac{549{,}65}{6} \approx 91{,}6083.
E as correções de somas:
S_{xx} = \sum x_i^2 - n\bar x^2 \approx 0{,}1256, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 - n\bar y^2 \approx 17{,}91, \quad S_{xy} = \sum x_i y_i - n\bar x\,\bar y \approx 1{,}3483.

Passo 3

O coeficiente de correlação de Pearson é
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} \approx \frac{1{,}3483}{\sqrt{0{,}1256\cdot17{,}91}} \approx 0{,}899.
Interpretação: existe correlação positiva forte entre x e y.

Passo 4

Teste de significância de r para H_0:\rho=0 contra H_1:\rho\neq0. A estatística é
t = r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \approx 0{,}899\sqrt{\frac{4}{1-0{,}899^2}} \approx 4{,}10,
com 4 graus de liberdade. O critério bicaudal a 5\% tem t_{0{,}025,4}\approx2{,}776. Como 4{,}10>2{,}776, rejeitamos H_0: a correlação é significativa.

Passo 5

Estimativa dos coeficientes do modelo
\hat\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}\approx \frac{1{,}3483}{0{,}1256}\approx 10{,}74, \quad \hat\beta_0 = \bar y - \hat\beta_1\bar x \approx 91{,}6083 - 10{,}74\cdot1{,}18 \approx 78{,}94.
Modelo ajustado:
\hat y = 78{,}94 + 10{,}74\,x.
Interpretação: cada aumento de 1\% em x eleva a pureza em cerca de 10{,}74 unidades.

Passo 6

O coeficiente de determinação é
R^2 = r^2 \approx (0{,}899)^2 \approx 0{,}808.
Isso significa que 80{,}8\% da variação de y é explicada pelo modelo linear em x. Dada a forte correlação e o R^2 elevado, o modelo é adequado.

Passo 7

A variância do erro é estimada por
\mathrm{SSE} = S_{yy} - \hat\beta_1\,S_{xy} \approx 17{,}91 - 10{,}74\cdot1{,}3483 \approx 3{,}42,
\hat\sigma^2 = \frac{\mathrm{SSE}}{n-2} = \frac{3{,}42}{4} \approx 0{,}855.

Resposta

a) r\approx0{,}899, correlação positiva e forte.
b) Teste t\approx4{,}10>2{,}776, correlação significativa a 5\%.
c) \displaystyle \hat y = 78{,}94 + 10{,}74\,x. A cada 1\% de x, y cresce 10{,}74.
d) R^2\approx0{,}808; 80{,}8\% da variabilidade explicada; modelo adequado.
e) \hat\sigma^2\approx0{,}855.

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