Questão 1 - O calor liberado, em calorias por grama, de uma mistura de cimento tem distribuição normal com desvio-padrão 2. Acredita-se que o calor médio liberado seja de 100 calorias. Uma amostra de tamanho 9 foi retirada e a média amostral observada foi de 98,6 calorias. Construa um teste de hipóteses para a média da distribuição do calor liberado.
a) Conclua o teste utilizando 1 \% de significância, através da região crítica.
b) Conclua o teste utilizando 1 \% de significância, através do valor-p.
c) Conclua o teste utilizando 5 \% de significância. E compare com o resultado obtido em (a) e (b).
H_{0}: \mu=100 e H_{1}: \mu \neq 100. Teste Z. Decisão: não rejeita H_{0}
H_{0}: \mu=100 e H_{1}: \mu \neq 100. Teste Z. Decisão: rejeita H_{0}. Aumentar o nível de significância é também aumentar a chance de rejeitar H_{0}. Então, se a decisão com um certo nível de significância é de não rejeição, existirá algum nível de significância maior que a decisão é alterada para a rejeição.

Passo 1

O enunciado descreve que o calor liberado por grama de uma mistura de cimento é N(\mu,\sigma^2) com \sigma=2. Supõe-se H_0\colon\mu=100 contra H_1\colon\mu\neq100. Foi coletada amostra de n=9 com média \bar{x}=98,6. Vamos usar o teste Z (σ conhecido) para decidir em dois níveis de significância \alpha=1\% e \alpha=5\%, tanto pela região crítica quanto pelo valor-p, e depois comparar os resultados.

Passo 2

A estatística de teste sob H_0 é
Z \;=\;\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
que segue N(0,1). Aqui \bar{x}=98,6, \mu_0=100, \sigma=2 e n=9. Assim,
z_{\rm obs} =\frac{98,6-100}{2/\sqrt{9}} =\frac{-1,4}{2/3} =-2,1.

Passo 3

Para \alpha=1\% e teste bilateral, a região crítica é
\bigl\{|Z|>z_{1-\alpha/2}\bigr\} \quad\text{com}\quad z_{1-\alpha/2}=z_{0,995}\approx2,5758.
Como \lvert z_{\rm obs}\rvert=2,1<2,5758, não rejeitamos H_0 a 1\%.

Passo 4

O valor-p é
\text{p-valor} =2P\bigl(Z\le z_{\rm obs}\bigr) =2\,\Phi(-2,1)\approx2\cdot0,0179=0,0358.
Como 0,0358>0,01, também não rejeitamos H_0 a 1\% pelo critério do valor-p.

Passo 5

Para \alpha=5\%, com o mesmo valor-p =0,0358, temos 0,0358<0,05, logo rejeitamos H_0 a 5\%.
Comparando: em \alpha=1\% (tanto por região crítica quanto por valor-p) não rejeitamos H_0, mas em \alpha=5\% rejeitamos. Aumentar \alpha eleva a probabilidade de rejeitar H_0.

Resposta

a) A 1\%, região crítica \{|Z|>2,5758\} com |z_{\rm obs}|=2,1 ⇒ não rejeita H_0.
b) Valor-p \approx0,0358>0,01 ⇒ não rejeita H_0.
c) A 5\%, como 0,0358<0,05 ⇒ rejeita H_0. Comparação: em nível de 1\% não rejeitamos, mas em 5\% rejeitamos.

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