Para os conjuntos de dados dos dois problemas abaixo, resolva os seguintes ítens:
a) Estime e interprete o coeficiente de correlação linear de Pearson para a amostra.
b) A correlação é significativa para a população? (faça o teste com 5 \% de significância)
c) Estime e interprete o modelo de regressão linear para explicar Y em função de X.
d) Encontre o coeficiente de determinação e interprete. Você considera o modelo adequado?
e) Estime a variância do erro.
A tabela a seguir mostra há quantas semanas seis pessoas estão trabalhando num posto de inspeção de automóveis e quantos carros cada uma inspecionou entre 12 hs e 14 hs em um determinado dia.
(N) de semanas trabalhadas (x) (N) de carros inspacionados (y)
2 13
7 21
9 23
1 14
5 15

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=5 com duas variáveis: número de semanas trabalhadas X e número de carros inspecionados Y. Vamos aplicar conceitos de correlação de Pearson, teste de significância para correlação, regressão linear simples, coeficiente de determinação e estimação da variância do erro.

Passo 2

Primeiro calculamos as somas e médias:
\sum x_i = 2+7+9+1+5 = 24, \quad \sum y_i = 13+21+23+14+15 = 86,
\bar x = \frac{24}{5} = 4{,}8, \quad \bar y = \frac{86}{5} = 17{,}2.
Em seguida computamos as somas de quadrados:
S_{xx} = \sum (x_i-\bar x)^2 = 44{,}8, \quad S_{yy} = \sum (y_i-\bar y)^2 = 80{,}8, \quad S_{xy} = \sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) = 56{,}2.

Passo 3

O coeficiente de correlação linear de Pearson na amostra é
r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} = \frac{56{,}2}{\sqrt{44{,}8 \times 80{,}8}} \approx 0{,}934.
Isto indica uma associação positiva forte entre semanas trabalhadas e carros inspecionados.

Passo 4

Para testar H_0\colon \rho=0 contra H_1\colon \rho\neq0 usamos
t = r \,\frac{\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} = 0{,}934 \,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1-0{,}934^2}} \approx 4{,}53,
com n-2=3 graus de liberdade. O valor crítico em nível \alpha=0{,}05 é t_{0{,}025,3}\approx3{,}182. Como 4{,}53>3{,}182, rejeitamos H_0 e concluímos que a correlação é significativa.

Passo 5

Os coeficientes da regressão linear Y em função de X vêm de
\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{56{,}2}{44{,}8} \approx1{,}255, \quad \beta_0 = \bar y - \beta_1\,\bar x = 17{,}2 - 1{,}255\cdot4{,}8 \approx11{,}18.
Logo o modelo ajustado é
\hat Y = 11{,}18 + 1{,}255\,X,
ou seja, em média cada semana adicional acrescenta cerca de 1{,}255 carros inspecionados.

Passo 6

O coeficiente de determinação é
R^2 = r^2 \approx (0{,}934)^2 = 0{,}873,
o que significa que cerca de 87{,}3\% da variação de Y é explicada pelo modelo linear. Como R^2 é alto e a correlação é significativa, o modelo é considerado adequado.

Passo 7

A variância do erro (estimada pelo quadrado médio residual) é
\text{SSE} = S_{yy} - \beta_1\,S_{xy} = 80{,}8 - 1{,}255\cdot56{,}2 \approx10{,}3,
s^2 = \frac{\text{SSE}}{n-2} = \frac{10{,}3}{3} \approx3{,}43.

Resposta

a) r\approx0{,}934, forte correlação positiva.
b) Estatística t\approx4{,}53>3{,}182, correlação significativa a 5\%.
c) \displaystyle \hat Y = 11{,}18 + 1{,}255\,X.
d) R^2\approx0{,}873, ou 87{,}3\% da variância explicada; modelo adequado.
e) Variância do erro s^2\approx3{,}43.

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