Qual dos conjuntos I a seguir é um ideal de \mathbb{Z} ?
a) I=\{-4 m+1 \mid m \in \mathbb{Z}\}
b) \{\mathbf{4} \boldsymbol{m}+\mathbf{1} \mid \boldsymbol{m} \in \mathbb{Z}\}
c) \{-4 m+3 \mid m \in \mathbb{Z}\}
d) \{-4 \boldsymbol{m} \mid \boldsymbol{m} \in \mathbb{Z}\}
e) \{\boldsymbol{4} \boldsymbol{m} \mid \boldsymbol{m} \in \mathbb{Z}\}

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos subconjuntos de \mathbb{Z} são ideais. Num anel comutativo unitário como \mathbb{Z}, sabe-se que todo ideal é da forma
n\mathbb{Z} = \{n\,k \mid k\in\mathbb{Z}\}
para algum inteiro n. Além disso, um subconjunto I\subseteq\mathbb{Z} é ideal se, e somente se, (i) é subgrupo aditivo de \mathbb{Z} e (ii) para todo i\in I e z\in\mathbb{Z}, temos z\,i\in I.

Passo 2

Analisando a) I=\{-4m+1\mid m\in\mathbb{Z}\}. Esse conjunto é a classe congruente a 1 módulo 4. Note que 1\in I (tomando m=0), mas 1+1=2\notin I. Falha a fechadura sob soma, logo não é subgrupo aditivo e não é ideal.

Passo 3

O item b) \{4m+1\mid m\in\mathbb{Z}\} é exatamente a mesma classe 1\pmod4. Pelo mesmo argumento de a), não fecha em relação à adição, logo não é ideal.

Passo 4

O item c) \{-4m+3\mid m\in\mathbb{Z}\} é a classe 3\pmod4. Também não é fechada sob soma (por exemplo 3+3=6\not\equiv3\pmod4), portanto não é ideal.

Passo 5

O item d) \{-4m\mid m\in\mathbb{Z}\} é o conjunto de todos múltiplos de 4, ou seja, 4\mathbb{Z}. Esse é um subgrupo aditivo de \mathbb{Z} e, para qualquer z\in\mathbb{Z} e qualquer elemento -4m\in I, temos
z\cdot(-4m) = -4\,(z\,m)\in I.
Logo d é ideal.

Passo 6

O item e) \{4m\mid m\in\mathbb{Z}\} também descreve exatamente o conjunto 4\mathbb{Z}. É o mesmo ideal do caso d).

Resposta

e) \{4m\mid m\in\mathbb{Z}\}

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