Qual dos conjuntos
a seguir é um ideal de
?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais dos subconjuntos de
são ideais. Num anel comutativo unitário como
, sabe-se que todo ideal é da forma
para algum inteiro
. Além disso, um subconjunto
é ideal se, e somente se, (i) é subgrupo aditivo de
e (ii) para todo
e
, temos
.
Passo 2
Analisando a)
. Esse conjunto é a classe congruente a
módulo
. Note que
(tomando
), mas
. Falha a fechadura sob soma, logo não é subgrupo aditivo e não é ideal.
Passo 3
O item b)
é exatamente a mesma classe
. Pelo mesmo argumento de a), não fecha em relação à adição, logo não é ideal.
Passo 4
O item c)
é a classe
. Também não é fechada sob soma (por exemplo
), portanto não é ideal.
Passo 5
O item d)
é o conjunto de todos múltiplos de
, ou seja,
. Esse é um subgrupo aditivo de
e, para qualquer
e qualquer elemento
, temos
Logo
é ideal.
Passo 6
O item e)
também descreve exatamente o conjunto
. É o mesmo ideal do caso d).
Resposta
e)