Determine o valor da integral definida
J=\int_{10}^{11} 2 \sqrt{(x-8)(x-10)} d x
compulsoriamente seguindo os seguintes passos
  • completando os quadrados do argumento da raiz
  • e usando uma substituição trigonométrica pertinente, chegando a integrais trigonométricas
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2 * \ln (10)+3^{*} p i^{*}(9-\exp (2))-3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
J=\square
Avalie com cuidado, se o valor da integral estier incorreto não haverá crédito parcial.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
J = \int_{10}^{11} 2\,\sqrt{(x-8)(x-10)}\,dx
usando completamento de quadrado no argumento da raiz e depois uma substituição trigonométrica apropriada para obter integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Dentro da raiz temos o polinômio quadrático
(x-8)(x-10) = x^2 -18x +80.
Fazendo o completamento de quadrado, escrevemos
x^2-18x+80 = (x-9)^2 -1,
de modo que \sqrt{(x-8)(x-10)} = \sqrt{(x-9)^2 -1}.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = x-9,
então quando x=10 temos u=1 e quando x=11 temos u=2. O diferencial é du=dx. Assim
J = 2 \int_{10}^{11} \sqrt{(x-9)^2-1}\,dx = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{u^2-1}\,du.

Passo 4

Usamos a substituição trigonométrica
u = \operatorname{sec}\theta, \quad \sqrt{u^2-1} = \tan\theta, \quad du = \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Logo
\sqrt{u^2-1}\,du = \tan\theta\cdot \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\,\tan^2\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^2\theta-1)\,d\theta = \operatorname{sec}^3\theta\,d\theta - \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 5

Integramos cada termo em \theta:
\int \operatorname{sec}^3\theta\,d\theta = \tfrac12\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|\bigr), \quad \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|.
Subtraindo e reunindo constantes, obtemos a antiderivada
\int \sqrt{u^2-1}\,du = \tfrac12\bigl(u\sqrt{u^2-1} - \ln\bigl(u+\sqrt{u^2-1}\bigr)\bigr) + C.
Portanto
J = 2\left[\tfrac12\bigl(u\sqrt{u^2-1} - \ln(u+\sqrt{u^2-1})\bigr)\right]_{1}^{2} = \Bigl[u\sqrt{u^2-1} - \ln\bigl(u+\sqrt{u^2-1}\bigr)\Bigr]_{1}^{2}.

Passo 6

Avaliamo nos limites:
para u=2:
2\sqrt{2^2-1} - \ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr) = 2\sqrt{3} - \ln(2+\sqrt{3}).
para u=1:
1\sqrt{1^2-1} - \ln(1+0) = 0 - 0 = 0.
Logo
J = 2\sqrt{3} - \ln(2+\sqrt{3}).

Passo 7

Calculando numericamente com \sqrt{3}\approx1.7320508 e \ln(2+\sqrt{3})\approx1.317174, obtemos
J \approx 3.4641016 - 1.317174 = 2.1469276.

Resposta

J = 2.1469276

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