Seja n um inteiro \geq 2. Em todas as 3 partes, mostre seu trabalho.
Obs.: As 3 partes (1), (2) e (3) são de certa maneira independentes.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
0.0166666 para representar " 5 / 300 "
ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2ln(10)+3pi*(9-exp(2))-3*sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos: \mathbf{0 . 0 1 6 6 6 6 6} ou \mathbf{1 3 . 0 7 9 7 6}
Parte 2) [25% dos pontos] Se definimos
S_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{n} x d x \text { para } n=0,1,2, \ldots
Parte 2a: Prove, a partir da Parte 1, que S_{n}=\frac{n-1}{n} S_{n-2} para n \geq 2.
Parte 2b: Calcule o valor da integral simples, para \boldsymbol{n}=\mathbf{0}, \boldsymbol{S}_{\mathbf{0}}=\square
Passo 1
O enunciado define
S_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx
para n=0,1,2,\dots e pede em (2a) provar a fórmula de redução
S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2} \quad(n\ge2)
e em (2b) calcular S_{0}. Vamos usar o método de integração por partes (resultado da Parte 1) para obter o fator de redução e depois avaliar diretamente o caso n=0.