Seja n um inteiro \geq 2. Em todas as 3 partes, mostre seu trabalho.
Obs.: As 3 partes (1), (2) e (3) são de certa maneira independentes.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2ln(10)+3pi*(9-exp(2))-3*sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos: \mathbf{0 . 0 1 6 6 6 6 6} ou \mathbf{1 3 . 0 7 9 7 6}
Parte 2) [25% dos pontos] Se definimos
S_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{n} x d x \text { para } n=0,1,2, \ldots
  • Parte 2a: Prove, a partir da Parte 1, que S_{n}=\frac{n-1}{n} S_{n-2} para n \geq 2.
  • Parte 2b: Calcule o valor da integral simples, para \boldsymbol{n}=\mathbf{0}, \boldsymbol{S}_{\mathbf{0}}= \square

Passo 1

O enunciado define
S_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx
para n=0,1,2,\dots e pede em (2a) provar a fórmula de redução
S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2} \quad(n\ge2)
e em (2b) calcular S_{0}. Vamos usar o método de integração por partes (resultado da Parte 1) para obter o fator de redução e depois avaliar diretamente o caso n=0.

Passo 2

Para n\ge2, considere a integral
S_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx.
Aplique integração por partes escolhendo
u=\sin^{n-1}x, \quad dv=\sin x\,dx.
Então
du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx, \quad v=-\cos x.
Logo,
\int\sin^{n}x\,dx =uv\Big|_{0}^{\pi/2}-\int v\,du =-\sin^{n-1}x\cos x\Big|_{0}^{\pi/2} +(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx.
Como \cos(\pi/2)=0 e \cos0=1, o termo de fronteira desaparece e obtemos
S_{n} =(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\bigl(1-\sin^2x\bigr)\,dx =(n-1)\Bigl(S_{n-2}-S_{n}\Bigr).

Passo 3

Reorganizando a última igualdade:
S_{n} =(n-1)S_{n-2}-(n-1)S_{n} \quad\Longrightarrow\quad n\,S_{n}=(n-1)\,S_{n-2} \quad\Longrightarrow\quad S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2}.
Isto conclui a prova da fórmula de redução para n\ge2.

Passo 4

Para (2b), basta avaliar diretamente
S_{0}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{0}x\,dx =\int_{0}^{\pi/2}1\,dx =\frac{\pi}{2}.
Em formato decimal com seis dígitos significativos, \pi/2\approx1.570796.

Resposta

2a:
S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2},\quad n\ge2.
2b:
S_{0}=1.570796.

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